QUESTÃO 8: (Mecânica dos Sólidos)
Um arame segura um corpo de densidade
e apresenta, nesta condição, um comprimento de 1000 mm . Ao imergir o corpo na água, o comprimento do arame diminui 2 mm . Calcular comprimento inicial do arame. Desprezar o efeito da massa do arame.
Um arame segura um corpo de densidade
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o comprimento inicial (comprimento natural, sem alongamento) do arame. Dados fornecidos (vou listar tudo que o enunciado dá explicitamente):
- o corpo tem densidade
; - quando o arame sustenta o corpo no ar, o comprimento do arame é
;\n - ao imergir o corpo na água, o comprimento do arame diminui
(ou seja, passa a ser );\n - devemos desprezar a massa do arame (logo a única força que estica o arame é a força do corpo);\n
- densidade da água (valor padrão) é
— este valor é assumido quando se fala simplesmente “água” sem outra especificação.\n
Pergunta clara: calcular o comprimento inicial (natural) do arame, que chamo de
.
Passo 2
Definindo variáveis e quantidades mensuráveis (isso organiza a solução):
- comprimento natural (sem alongamento):
(incógnita a encontrar); - comprimento com o corpo no ar:
(dado); - comprimento com o corpo imerso:
(dado implicado); - alongamento (extensão) do arame no ar:
; - alongamento do arame na água:
.\n
O objetivo é achar
. Para isso precisamos relacionar
e
com as forças que esticam o arame.
Passo 3
Conceito físico necessário (aula rápida e simples): lei de Hooke para um arame elástico (modelo linear).
- A lei de Hooke diz que, para pequenas deformações, a força elástica exercida por um corpo elástico é proporcional à sua extensão:
onde
é a força que está sendo equilibrada pelo arame (a tensão),
é a constante elástica do arame (característica do material e da seção), e
é a extensão (alongamento) do arame em relação ao comprimento natural
.
- Aqui
é a mesma tanto no ar quanto na água (o arame não muda de propriedade), então as extensões são proporcionais às forças que o arame sustenta:
Essa relação é útil porque elimina
(não precisamos conhecê-lo).
Passo 4
Determinar as forças (tensões) na situação no ar e na água:
- No ar, a força que estica o arame é o peso do corpo:
A massa
do corpo pode ser escrita como
, onde
é o volume do corpo. Então
- Na água, existe empuxo (força de flutuação) que reduz a força sobre o arame. O empuxo vale o peso do fluido deslocado:
Logo a força que ainda estica o arame na água (tensão aparente) é
- Portanto a razão das forças é
Observe que
e
cancelam — ótimo, não precisamos conhecer volume nem
.
Passo 5
Substituindo as densidades numéricas (usei
e
, como listado no Passo 1):
Pela proporcionalidade da lei de Hooke (Passo 3), isso implica
ou seja
Passo 6
Relacione as extensões com a diferença conhecida de comprimentos:
- A redução do comprimento do arame ao imergir é justamente a diferença entre as extensões:
Substituindo
:
Logo
Passo 7
Encontrando o comprimento natural
:
- Sabemos que
. Então
Esse é o comprimento do arame sem o efeito do peso do corpo (o comprimento inicial/natural).