QUESTÃO 8: (Mecânica dos Sólidos)
Um arame segura um corpo de densidade 8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e apresenta, nesta condição, um comprimento de 1000 mm . Ao imergir o corpo na água, o comprimento do arame diminui 2 mm . Calcular comprimento inicial do arame. Desprezar o efeito da massa do arame.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o comprimento inicial (comprimento natural, sem alongamento) do arame. Dados fornecidos (vou listar tudo que o enunciado dá explicitamente):
  • o corpo tem densidade \rho_{\text{corpo}} = 8\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3;
  • quando o arame sustenta o corpo no ar, o comprimento do arame é \;1000\\ \mathrm{mm};\n
  • ao imergir o corpo na água, o comprimento do arame diminui \;2\\ \mathrm{mm} (ou seja, passa a ser 1000-2=998\\ \mathrm{mm});\n
  • devemos desprezar a massa do arame (logo a única força que estica o arame é a força do corpo);\n
  • densidade da água (valor padrão) é \rho_{\text{água}} = 1\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3á — este valor é assumido quando se fala simplesmente “água” sem outra especificação.\n
Pergunta clara: calcular o comprimento inicial (natural) do arame, que chamo de L_0.

Passo 2

Definindo variáveis e quantidades mensuráveis (isso organiza a solução):
  • comprimento natural (sem alongamento): L_0 (incógnita a encontrar);
  • comprimento com o corpo no ar: L_{\text{ar}} = 1000\\ \mathrm{mm} (dado);
  • comprimento com o corpo imerso: L_{\text{água}} = L_{\text{ar}} - 2\\ \mathrm{mm} = 998\\ \mathrm{mm}á (dado implicado);
  • alongamento (extensão) do arame no ar: \Delta L_{\text{ar}} = L_{\text{ar}} - L_0;
  • alongamento do arame na água: \Delta L_{\text{água}} = L_{\text{água}} - L_0áá.\n
O objetivo é achar L_0. Para isso precisamos relacionar \Delta L_{\text{ar}} e \Delta L_{\text{água}}á com as forças que esticam o arame.

Passo 3

Conceito físico necessário (aula rápida e simples): lei de Hooke para um arame elástico (modelo linear).
  • A lei de Hooke diz que, para pequenas deformações, a força elástica exercida por um corpo elástico é proporcional à sua extensão:
F = k\,\Delta L,
onde F é a força que está sendo equilibrada pelo arame (a tensão), k é a constante elástica do arame (característica do material e da seção), e \Delta L é a extensão (alongamento) do arame em relação ao comprimento natural L_0.
  • Aqui k é a mesma tanto no ar quanto na água (o arame não muda de propriedade), então as extensões são proporcionais às forças que o arame sustenta:
\frac{\Delta L_{\text{água}}}{\Delta L_{\text{ar}}}=\frac{F_{\text{água}}}{F_{\text{ar}}}.áá
Essa relação é útil porque elimina k (não precisamos conhecê-lo).

Passo 4

Determinar as forças (tensões) na situação no ar e na água:
  • No ar, a força que estica o arame é o peso do corpo:
F_{\text{ar}} = P = m g.
A massa m do corpo pode ser escrita como m=\rho_{\text{corpo}} V, onde V é o volume do corpo. Então
F_{\text{ar}} = \rho_{\text{corpo}} V g.
  • Na água, existe empuxo (força de flutuação) que reduz a força sobre o arame. O empuxo vale o peso do fluido deslocado:
E = \rho_{\text{água}} V g.á
Logo a força que ainda estica o arame na água (tensão aparente) é
F_{\text{água}} = P - E = (\rho_{\text{corpo}} V g) - (\rho_{\text{água}} V g) = (\rho_{\text{corpo}} - \rho_{\text{água}})\,V g.ááá
  • Portanto a razão das forças é
\frac{F_{\text{água}}}{F_{\text{ar}}}=\frac{(\rho_{\text{corpo}}-\rho_{\text{água}})Vg}{\rho_{\text{corpo}}Vg}=\frac{\rho_{\text{corpo}}-\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{corpo}}}.ááá
Observe que V e g cancelam — ótimo, não precisamos conhecer volume nem g.

Passo 5

Substituindo as densidades numéricas (usei \rho_{\text{água}}=1\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3á e \rho_{\text{corpo}}=8\\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^3, como listado no Passo 1):
\frac{F_{\text{água}}}{F_{\text{ar}}}=\frac{8-1}{8}=\frac{7}{8}.á
Pela proporcionalidade da lei de Hooke (Passo 3), isso implica
\frac{\Delta L_{\text{água}}}{\Delta L_{\text{ar}}}=\frac{7}{8},á
ou seja
\Delta L_{\text{água}}=\frac{7}{8}\,\Delta L_{\text{ar}}.á

Passo 6

Relacione as extensões com a diferença conhecida de comprimentos:
  • A redução do comprimento do arame ao imergir é justamente a diferença entre as extensões:
\Delta L_{\text{ar}} - \Delta L_{\text{água}} = 2\\ \mathrm{mm}.á
Substituindo \Delta L_{\text{água}}=(7/8)\Delta L_{\text{ar}}á:
\Delta L_{\text{ar}} - \frac{7}{8}\Delta L_{\text{ar}} = \frac{1}{8}\Delta L_{\text{ar}} = 2\\ \mathrm{mm}.
Logo
\Delta L_{\text{ar}} = 8 \times 2\\ \mathrm{mm} = 16\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Encontrando o comprimento natural L_0:
  • Sabemos que L_{\text{ar}} = L_0 + \Delta L_{\text{ar}}. Então
L_0 = L_{\text{ar}} - \Delta L_{\text{ar}} = 1000\\ \mathrm{mm} - 16\\ \mathrm{mm} = 984\\ \mathrm{mm}.
Esse é o comprimento do arame sem o efeito do peso do corpo (o comprimento inicial/natural).

Resposta

984\\ \mathrm{mm}

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