9.107 It is known that for a given area \bar{I}_{y}=48 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4} and \bar{I}_{x y}=-20 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4}, where the x and y axes are rectangular centroidal axes. If the axis corresponding to the maximum product of inertia is obtained by rotating the x axis 67.5^{\circ} counterclockwise about C, use Mohr’s circle to determine (a) the moment of inertia \bar{I}_{x} of the area, (b) the principal centroidal moments of inertia.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as grandezas abaixo.
as quais são medidas em relação aos eixos centroidais rectangulares x,y.
Foi informado que o eixo que corresponde ao produto de inércia máximo é obtido ao rotacionar o eixo x em 67,5^\circ no sentido anti-horário em relação ao centroide C. Ou seja, a rotação \theta que leva x ao eixo de produto máximo é
\theta=67{,}5^\circ.
Perguntas:
(a) Determinar \bar{I}_{x} (momento de inércia em torno do eixo x).
(b) Determinar os momentos centroidais principais de inércia (os dois autovalores \bar{I}_1 e \bar{I}_2).
Passo 2
Vamos usar a fórmula de transformação para o produto de inércia quando rotacionamos os eixos por um ângulo \theta. A fórmula padrão (valida para eixos centroidais) é
\bar{I}_x,\bar{I}_y,\bar{I}_{xy} são os momentos e produto de inércia iniciais (relativos aos eixos x,y);
\bar{I}_{x'y'} é o produto de inércia em relação aos novos eixos obtidos por rotação de \theta;
\theta é o ângulo de rotação do eixo x para x' (positivo no sentido anti-horário);
2\theta aparece porque as transformações de segunda ordem envolvem \sin2\theta e \cos2\theta.
Essa fórmula pode ser vista como projeção do ponto (\tfrac{\bar I_x-\bar I_y}{2},\bar I_{xy}) no círculo de Mohr, mas não se preocupe com geom. abstrata — vamos usar a forma algébrica.
Passo 3
Queremos usar a informação “eixo do produto de inércia máximo ocorre em \theta=67{,}5^\circ”. Para achar o ângulo que torna \bar{I}_{x'y'} extremal (máximo ou mínimo) derivamos \bar{I}_{x'y'} em relação a \theta e igualamos a zero.
Comentário rápido de encorajamento: ótimo — seguindo passo a passo com Mohr a conta encaixa certinho e deu números bem redondos. Você já consegue aplicar isso numa prova!