9.107 It is known that for a given area \bar{I}_{y}=48 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4} and \bar{I}_{x y}=-20 \times 10^{6} \mathrm{~mm}^{4}, where the x and y axes are rectangular centroidal axes. If the axis corresponding to the maximum product of inertia is obtained by rotating the x axis 67.5^{\circ} counterclockwise about C, use Mohr’s circle to determine (a) the moment of inertia \bar{I}_{x} of the area, (b) the principal centroidal moments of inertia.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as grandezas abaixo.
Dados:
\bar{I}_{y}=48\times10^{6}\,\mathrm{mm}^{4}, \qquad \bar{I}_{xy}=-20\times10^{6}\,\mathrm{mm}^{4},
as quais são medidas em relação aos eixos centroidais rectangulares x,y.
Foi informado que o eixo que corresponde ao produto de inércia máximo é obtido ao rotacionar o eixo x em 67,5^\circ no sentido anti-horário em relação ao centroide C. Ou seja, a rotação \theta que leva x ao eixo de produto máximo é
\theta=67{,}5^\circ.
Perguntas:
(a) Determinar \bar{I}_{x} (momento de inércia em torno do eixo x).
(b) Determinar os momentos centroidais principais de inércia (os dois autovalores \bar{I}_1 e \bar{I}_2).

Passo 2

Vamos usar a fórmula de transformação para o produto de inércia quando rotacionamos os eixos por um ângulo \theta. A fórmula padrão (valida para eixos centroidais) é
\bar{I}_{x'y'}=\frac{\bar{I}_x-\bar{I}_y}{2}\sin2\theta+\bar{I}_{xy}\cos2\theta,
onde:
  • \bar{I}_x,\bar{I}_y,\bar{I}_{xy} são os momentos e produto de inércia iniciais (relativos aos eixos x,y);
  • \bar{I}_{x'y'} é o produto de inércia em relação aos novos eixos obtidos por rotação de \theta;
  • \theta é o ângulo de rotação do eixo x para x' (positivo no sentido anti-horário);
  • 2\theta aparece porque as transformações de segunda ordem envolvem \sin2\theta e \cos2\theta.
Essa fórmula pode ser vista como projeção do ponto (\tfrac{\bar I_x-\bar I_y}{2},\bar I_{xy}) no círculo de Mohr, mas não se preocupe com geom. abstrata — vamos usar a forma algébrica.

Passo 3

Queremos usar a informação “eixo do produto de inércia máximo ocorre em \theta=67{,}5^\circ”. Para achar o ângulo que torna \bar{I}_{x'y'} extremal (máximo ou mínimo) derivamos \bar{I}_{x'y'} em relação a \theta e igualamos a zero.
Começando de
\bar{I}_{x'y'}(\theta)=\frac{\bar{I}_x-\bar{I}_y}{2}\sin2\theta+\bar{I}_{xy}\cos2\theta,
fazendo a derivada em relação a \theta:
\frac{d\bar{I}_{x'y'}}{d\theta} = \frac{\bar{I}_x-\bar{I}_y}{2}\cdot 2\cos2\theta + \bar{I}_{xy}\cdot(-2\sin2\theta).
Simplificando:
\frac{d\bar{I}_{x'y'}}{d\theta}=(\bar{I}_x-\bar{I}_y)\cos2\theta-2\bar{I}_{xy}\sin2\theta.
Para um extremo (máximo ou mínimo) a derivada é zero, portanto
(\bar{I}_x-\bar{I}_y)\cos2\theta - 2\bar{I}_{xy}\sin2\theta = 0.
Isolando tangente:
\tan2\theta=\frac{\bar{I}_x-\bar{I}_y}{2\bar{I}_{xy}}.
Esta é a relação que liga o ângulo onde \bar{I}_{x'y'} é extremo com os valores \bar{I}_x,\bar{I}_y,\bar{I}_{xy}.

Passo 4

Agora substituímos o \theta dado. Como o eixo do produto máximo é obtido por \theta=67{,}5^\circ, temos 2\theta=135^\circ. Portanto
\tan2\theta=\tan135^\circ=-1.
Pela relação anterior:
-1=\frac{\bar{I}_x-\bar{I}_y}{2\bar{I}_{xy}}.
Multiplicando:
\bar{I}_x-\bar{I}_y = -2\bar{I}_{xy}.
Agora substituímos os valores conhecidos \bar{I}_y=48\times10^{6}\,\mathrm{mm}^4 e \bar{I}_{xy}=-20\times10^{6}\,\mathrm{mm}^4:
\bar{I}_x-48\times10^{6} = -2\cdot(-20\times10^{6}).
O lado direito é -2\cdot(-20\times10^{6})=40\times10^{6}. Assim
\bar{I}_x = 48\times10^{6} + 40\times10^{6} = 88\times10^{6}\,\mathrm{mm}^4.
Prontinho — acabamos a parte (a).

Passo 5

Agora vamos achar os momentos principais de inércia. A forma direta (usando Mohr’s circle) é calcular a média e o raio do círculo:
média:
\bar{I}_{\text{avg}}=\frac{\bar{I}_x+\bar{I}_y}{2},
meia-diferença:
\frac{\bar{I}_x-\bar{I}_y}{2},
raio:
R=\sqrt{\left(\frac{\bar{I}_x-\bar{I}_y}{2}\right)^2+\bar{I}_{xy}^2}.
Substituindo \bar{I}_x=88\times10^{6}, \bar{I}_y=48\times10^{6}, \bar{I}_{xy}=-20\times10^{6}:
Calcule a média:
\bar{I}_{\text{avg}}=\frac{88\times10^{6}+48\times10^{6}}{2}=\frac{136\times10^{6}}{2}=68\times10^{6}\,\mathrm{mm}^4.
Calcule a meia-diferença:
\frac{\bar{I}_x-\bar{I}_y}{2}=\frac{88\times10^{6}-48\times10^{6}}{2}=\frac{40\times10^{6}}{2}=20\times10^{6}\,\mathrm{mm}^4.
Calcule o raio:
R=\sqrt{(20\times10^{6})^{2}+(-20\times10^{6})^{2}} =\sqrt{2\cdot(20\times10^{6})^{2}} =20\times10^{6}\sqrt{2}.
Os momentos principais são
\bar{I}_1=\bar{I}_{\text{avg}}+R, \qquad \bar{I}_2=\bar{I}_{\text{avg}}-R.
Substituindo:
\bar{I}_{1,2}=\left(68\pm20\sqrt{2}\right)\times10^{6}\,\mathrm{mm}^4.
Se quisermos valores numéricos aproximados, note que \sqrt{2}\approx1{,}41421356, então 20\sqrt{2}\approx28{,}284271. Assim
\bar{I}_1\approx(68+28{,}284271)\times10^{6}\approx96{,}28\times10^{6}\,\mathrm{mm}^4,
\bar{I}_2\approx(68-28{,}284271)\times10^{6}\approx39{,}72\times10^{6}\,\mathrm{mm}^4.
Comentário rápido de encorajamento: ótimo — seguindo passo a passo com Mohr a conta encaixa certinho e deu números bem redondos. Você já consegue aplicar isso numa prova!

Resposta

(a) \bar{I}_x=88\times10^{6}\,\mathrm{mm}^4
(b) \bar{I}_{1,2}=\left(68\pm20\sqrt{2}\right)\times10^{6}\,\mathrm{mm}^4
\approx\bar{I}_1\approx96{,}28\times10^{6}\,\mathrm{mm}^4
\quad\bar{I}_2\approx39{,}72\times10^{6}\,\mathrm{mm}^4

Exercícios relacionados