Seja a função vetorial \boldsymbol{r}(t) \boldsymbol{r}(t)=f(t) \hat{i}+g(t) \hat{j}+h(t) \hat{k}, t \in D.
Vimos que a derivada \boldsymbol{r}^{\prime}(t) de \boldsymbol{r} é definida como
\boldsymbol{r}^{\prime}(t)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\boldsymbol{r}(t+h)-\boldsymbol{r}(t)}{h}
\forall t \in D para o qual o limite existe.
Se f(t), g(t) e h(t) são funções contínuas e diferenciáveis em D, mostre que \boldsymbol{r}^{\prime}(t) pode ser calculado como
\boldsymbol{r}^{\prime}(t)=f^{\prime}(t) \hat{i}+g^{\prime}(t) \hat{j}+h^{\prime}(t) \hat{k}

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial \boldsymbol{r} e a definição da derivada. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser mostrado:
  • Dado: \boldsymbol{r}(t)=f(t)\,\hat{i}+g(t)\,\hat{j}+h(t)\,\hat{k}, com t\in D.
  • Dado: a definição da derivada vetorial
\boldsymbol{r}^{\prime}(t)=\lim_{u\to0}\frac{\boldsymbol{r}(t+u)-\boldsymbol{r}(t)}{u},
onde usei u para o incremento (para não confundir com a função h(t) que é o terceiro componente).
  • Hipótese: as funções escalares f(t),\,g(t),\,h(t) são diferenciáveis em D (portanto seus limites diferenciais existem).
  • O que pediram: mostrar que
\boldsymbol{r}^{\prime}(t)=f^{\prime}(t)\,\hat{i}+g^{\prime}(t)\,\hat{j}+h^{\prime}(t)\,\hat{k}.

Passo 2

Escrever a diferença \boldsymbol{r}(t+u)-\boldsymbol{r}(t) em termos das componentes. Como a soma e subtração de vetores é feita componente a componente, tem-se:
\boldsymbol{r}(t+u)-\boldsymbol{r}(t)=\bigl[f(t+u)-f(t)\bigr]\,\hat{i}+\bigl[g(t+u)-g(t)\bigr]\,\hat{j}+\bigl[h(t+u)-h(t)\bigr]\,\hat{k}.
Aqui cada termo entre colchetes é um número (escalar): a variação da componente correspondente.

Passo 3

Dividir a expressão do passo anterior pelo escalar u. Como multiplicação de vetor por escalar distribui sobre soma, obtemos
\frac{\boldsymbol{r}(t+u)-\boldsymbol{r}(t)}{u}=\frac{f(t+u)-f(t)}{u}\,\hat{i}+\frac{g(t+u)-g(t)}{u}\,\hat{j}+\frac{h(t+u)-h(t)}{u}\,\hat{k}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite u\to0 à expressão inteira. Para isso usamos propriedades básicas de limites (vou explicar essas propriedades a seguir). Tomando limite em ambos os lados:
\boldsymbol{r}^{\prime}(t)=\lim_{u\to0}\frac{\boldsymbol{r}(t+u)-\boldsymbol{r}(t)}{u} =\lim_{u\to0}\left[\frac{f(t+u)-f(t)}{u}\,\hat{i}+\frac{g(t+u)-g(t)}{u}\,\hat{j}+\frac{h(t+u)-h(t)}{u}\,\hat{k}\right].

Passo 5

Explicando as propriedades de limites usadas (a “aula” pedida):
  • Lei da linearidade do limite (soma): se \lim_{u\to0}A(u) e \lim_{u\to0}B(u) existem, então \lim_{u\to0}\bigl(A(u)+B(u)\bigr)=\lim_{u\to0}A(u)+\lim_{u\to0}B(u).
  • Constante pode ser factorizada: se c é uma constante (vetor ou escalar), então \lim_{u\to0}c\cdot A(u)=c\cdot\lim_{u\to0}A(u), desde que \lim_{u\to0}A(u) exista.
  • No nosso caso, \hat{i},\hat{j},\hat{k} são vetores constantes (não dependem de u), então podem ser tirados para fora do limite.
  • Além disso, a derivabilidade de f,g,h em t significa exatamente que os limites
\lim_{u\to0}\frac{f(t+u)-f(t)}{u}=f'(t), \quad \lim_{u\to0}\frac{g(t+u)-g(t)}{u}=g'(t), \quad \lim_{u\to0}\frac{h(t+u)-h(t)}{u}=h'(t)
existem. (Recorde: diferenciabilidade implica existência desses limites.)
Usando essas leis, o limite vetorial se separa em soma de limites componentes vezes as constantes \hat{i},\hat{j},\hat{k}.

Passo 6

Aplicando explicitamente as propriedades do passo anterior:
\boldsymbol{r}^{\prime}(t) =\hat{i}\,\lim_{u\to0}\frac{f(t+u)-f(t)}{u} +\hat{j}\,\lim_{u\to0}\frac{g(t+u)-g(t)}{u} +\hat{k}\,\lim_{u\to0}\frac{h(t+u)-h(t)}{u}.
Pelo fato de f,g,h serem diferenciáveis, cada limite acima é a derivada da respectiva função em t. Logo
\boldsymbol{r}^{\prime}(t)=f^{\prime}(t)\,\hat{i}+g^{\prime}(t)\,\hat{j}+h^{\prime}(t)\,\hat{k}.

Passo 7

Comentário prático para a prova (como aplicar essa ideia rapidamente):
  • Sempre que tiver uma função vetorial dada por componentes escalares, basta derivar cada componente como se fosse uma função real comum e manter os vetores unitários na frente.
  • Atenção ao uso de símbolos: na definição de derivada o incremento costuma ser chamado de h ou \Delta t; se alguma componente também se chama h, renomeie o incremento para evitar confusão.
Exemplo rápido: se \boldsymbol{r}(t)=t^{2}\,\hat{i}+\sin t\,\hat{j}+e^{t}\,\hat{k}, então
\boldsymbol{r}^{\prime}(t)=2t\,\hat{i}+\cos t\,\hat{j}+e^{t}\,\hat{k},
seguindo exatamente o procedimento componente a componente.

Resposta

\boldsymbol{r}^{\prime}(t)=f^{\prime}(t)\,\hat{i}+g^{\prime}(t)\,\hat{j}+h^{\prime}(t)\,\hat{k}

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