Seja a função vetorial
.
Vimos que a derivada
de
é definida como
para o qual o limite existe.
Se
e
são funções contínuas e diferenciáveis em
, mostre que
pode ser calculado como
Se
Passo 1
O enunciado nos dá a função vetorial
e a definição da derivada. Vou listar claramente o que foi dado e o que precisa ser mostrado:
- Dado:
, com . - Dado: a definição da derivada vetorial
onde usei
para o incremento (para não confundir com a função
que é o terceiro componente).
- Hipótese: as funções escalares
são diferenciáveis em (portanto seus limites diferenciais existem). - O que pediram: mostrar que
Passo 2
Escrever a diferença
em termos das componentes. Como a soma e subtração de vetores é feita componente a componente, tem-se:
Aqui cada termo entre colchetes é um número (escalar): a variação da componente correspondente.
Passo 3
Dividir a expressão do passo anterior pelo escalar
. Como multiplicação de vetor por escalar distribui sobre soma, obtemos
Passo 4
Agora aplicamos o limite
à expressão inteira. Para isso usamos propriedades básicas de limites (vou explicar essas propriedades a seguir). Tomando limite em ambos os lados:
Passo 5
Explicando as propriedades de limites usadas (a “aula” pedida):
- Lei da linearidade do limite (soma): se
e existem, então . - Constante pode ser factorizada: se
é uma constante (vetor ou escalar), então , desde que exista. - No nosso caso,
são vetores constantes (não dependem de ), então podem ser tirados para fora do limite. - Além disso, a derivabilidade de
em significa exatamente que os limites
existem. (Recorde: diferenciabilidade implica existência desses limites.)
Usando essas leis, o limite vetorial se separa em soma de limites componentes vezes as constantes
.
Passo 6
Aplicando explicitamente as propriedades do passo anterior:
Pelo fato de
serem diferenciáveis, cada limite acima é a derivada da respectiva função em
. Logo
Passo 7
Comentário prático para a prova (como aplicar essa ideia rapidamente):
- Sempre que tiver uma função vetorial dada por componentes escalares, basta derivar cada componente como se fosse uma função real comum e manter os vetores unitários na frente.
- Atenção ao uso de símbolos: na definição de derivada o incremento costuma ser chamado de
ou ; se alguma componente também se chama , renomeie o incremento para evitar confusão.
Exemplo rápido: se
, então
seguindo exatamente o procedimento componente a componente.