Questão 3. O métodos de Gauss para resolução de sistemas é um dos mais adotados quando se faz o uso do computador, devido ao menor núumero de operações que envolve. Ele consiste em se reduzir a matriz ampliada do sistema por linha-equivalência a uma matriz que só é diferente da linha reduzida à forma escada na condição b) (Ver definição de Forma Escada no livro texto na página 37 ou nas suas notas de aula), que passa a ser:
b^{\prime} ) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem todos os elementos abaixo desta linha iquais a zero.
As outras condições a),c) e d) são identicas. Uma vez reduzida a matriz ampliada a esta forma, a solução final do sistema é obtida por substituição. Por exemplo,
\begin{gathered} \left\{\begin{array}{rrr} 2 x+y & =5 \\\ x-3 y & =6 \end{array}\right. \\\ {\left[\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 5 \\\\ 1 & -3 & 6 \end{array}\right] \xrightarrow{L_{1} \rightarrow L_{2}}\left[\begin{array}{rrr} 1 & -3 & 6 \\\\ 2 & 1 & 5 \end{array}\right] \xrightarrow{L_{2} \rightarrow L_{2}-2 L_{1}}\left[\begin{array}{rrr} 1 & -3 & 6 \\\\ 0 & 7 & -7 \end{array}\right] \xrightarrow{L_{2} \rightarrow \frac{1}{7} L_{2}}\left[\begin{array}{rrr} 1 & -3 & 6 \\\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right] .} \end{gathered}
A ultima matriz corresponde ao sistema
\left\{\begin{array}{rllr} x- & 3 y & = & 6 \\\ & +y & = & -1 \end{array}\right.
Por substituição, x-3(-1)=6, ou seja, x=3. Resolva pelo método de Gauss os sistemas de equações lineares
\left\{\begin{aligned} x+3 y+z+w & =3 \\\\ 2 x-2 y+z+2 w & =8 \\\\ 3 x+y+2 z-w & =-1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo método de Gauss o sistema de três equações em quatro incógnitas
\left\{\begin{aligned} x+3y+z+w&=3,\\\\ 2x-2y+z+2w&=8,\\\\ 3x+y+2z-w&=-1. \end{aligned}\right.
O conteúdo é eliminação de Gauss: montamos a matriz ampliada, aplicamos operações de linha para chegar à forma escada (zeros abaixo dos pivôs) e, em seguida, usamos substituição para obter as incógnitas em função de eventuais parâmetros livres.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada e eliminamos abaixo do pivô da primeira coluna ( a_{11}=1):
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\\\ 2 & -2 & 1 & 2 & 8\\\\ 3 & 1 & 2 & -1 & -1 \end{array}\right] \xrightarrow{R_2\to R_2-2R_1,\;R_3\to R_3-3R_1} \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\\\ 0 & -8 & -1 & 0 & 2\\\\ 0 & -8 & -1 & -4 & -10 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos abaixo do pivô da segunda coluna ( a_{22}=-8):
\left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\\\ 0 & -8 & -1 & 0 & 2\\\\ 0 & -8 & -1 & -4 & -10 \end{array}\right] \xrightarrow{R_3\to R_3-R_2} \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\\\ 0 & -8 & -1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & -4 & -12 \end{array}\right].

Passo 4

Normalizamos os pivôs para obter 1 na diagonal principal (opcional, mas facilita a substituição):
R_2\to -\tfrac{1}{8}R_2,\quad R_3\to -\tfrac{1}{4}R_3 \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{rrrr|r} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\\\ 0 & 1 & \tfrac{1}{8} & 0 & -\tfrac{1}{4}\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right].
Agora a forma escada está satisfeita: pivôs em (1,1), (2,2) e (3,4) com zeros abaixo.

Passo 5

Fazemos substituição regressiva. Das linhas temos:
da linha 3,
w=3.
da linha 2,
y+\tfrac{1}{8}z=-\tfrac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad y=-\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{8}z.
da linha 1,
x+3y+z+w=3 \;\Longrightarrow\; x=3-3y-z-w.
Substituindo y e w:
x=3-3\Bigl(-\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{8}z\Bigr)-z-3 =3+\tfrac{3}{4}+\tfrac{3}{8}z-z-3 =\tfrac{3}{4}-\tfrac{5}{8}z.
Como a coluna de z não tem pivô, z é parâmetro livre.

Resposta

Seja z=t com t\in\mathbb{R}. Então
(x,y,z,w) =\Bigl(\tfrac{3}{4}-\tfrac{5}{8}t,\;-\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{8}t,\;t,\;3\Bigr).

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