Questão 7 . Considere o sistema de equações lineares
\left\{\begin{array}{r} 4 x+12 y+8 z=a \\\\ 2 x+5 y+3 z=b \\\\ -4 y-4 z=c \end{array}\right.
onde a, b e c são números reais. Estabeleça condições sobre as variáveis independentes a, b, c para que o sistema admita solução.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em x,y,z com parâmetros reais a,b,c e pede para encontrar condição sobre a,b,c para que haja solução. Vamos usar o método de eliminação: primeiro expressar uma variável em função das outras e dos parâmetros, depois substituir nas demais equações e obter a relação de compatibilidade.

Passo 2

Da terceira equação
-4y - 4z = c
dividindo ambos os lados por -4 obtemos
y + z = -\frac{c}{4},
logo
y = -\frac{c}{4} - z.

Passo 3

Substituímos esse y na segunda equação
2x + 5y + 3z = b.
Fazendo
2x + 5\Bigl(-\tfrac{c}{4}-z\Bigr) + 3z = b
vem
2x - \frac{5c}{4} - 5z + 3z = b \quad\implies\quad 2x - 2z = b + \frac{5c}{4} \quad\implies\quad x = z + \frac{b}{2} + \frac{5c}{8}.

Passo 4

Agora substituímos x e y na primeira equação
4x + 12y + 8z = a.
Temos
4\Bigl(z + \tfrac{b}{2} + \tfrac{5c}{8}\Bigr) +12\Bigl(-\tfrac{c}{4}-z\Bigr) +8z = a.
Simplificando os coeficientes de z cancela e sobra
2b - \frac{c}{2} = a.
Essa é a condição necessária e suficiente para compatibilidade do sistema.

Resposta

O sistema admite solução se, e somente se,
a = 2b - \frac{c}{2}.

Exercícios relacionados