Questão 2. Resolva os seguintes sistemas achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seu posto, o postos da matriz dos coeficientes e, se o sistema admitir solução, o grau de liberdade.
\left\{\begin{aligned} x+3 y+z+w & =3 \\\\ 2 x-2 y+z+2 w & =8 \\\ x-5 y+w & =5\end{aligned}\right.

Passo 1

Temos o sistema
\begin{cases} x + 3y + z + w = 3,\\\\ 2x -2y + z + 2w = 8,\\\ x -5y + 0z + w = 5.
O conteúdo aqui é eliminação de Gauss: vamos montar a matriz aumentada, usar operações elementares de linha para chegar à forma escada (row echelon form) e, daí, ler o posto da matriz de coeficientes, o posto da aumentada e o número de variáveis livres.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e fazemos as operações
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\\\ 2 & -2 & 1 & 2 & 8\\\\ 1 & -5 & 0 & 1 & 5 \end{array}\right).
Aplicamos
L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1,\quad L_3 \leftarrow L_3 - L_1,
obtendo
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\\\ 0 & -8 & -1 & 0 & 2\\\\ 0 & -8 & -1 & 0 & 2 \end{array}\right).

Passo 3

Eliminamos a terceira linha subtraindo a segunda:
L_3 \leftarrow L_3 - L_2 \;\Longrightarrow\; \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\\\ 0 & -8 & -1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
Esta é a forma escada da matriz aumentada.

Passo 4

Da forma escada vemos dois pivôs (nas colunas 1 e 2).
Portanto
– posto da matriz de coeficientes A =2,
– posto da matriz aumentada =2.
Como o número de incógnitas é 4 e há 2 pivôs, há 4 - 2 = 2 variáveis livres (grau de liberdade =2).

Resposta

Forma escada da matriz aumentada:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 1 & 1 & 3\\\\ 0 & -8 & -1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right).
posto \,(A) =2, posto da aumentada =2, grau de liberdade =2.

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