Questão 3 (
). (MHS, conservação de momento e energia) Um corpo de massa
está suspenso sobre um sistema massa-mola (SMM) em repouso (massa
e constante elástica k). A distância entre o corpo e a massa do SMM é h. Quando o corpo é liberado, ele cai livremente e colide elasticamente com o SMM que entra em MHS. Assumindo
e
, determine: (a) a velocidade do corpo imediatamente antes de colidir com o SMM; (b) as velocidades do corpo e da massa do SMM imediatamente após a colisão elástica; (c) a frequência angular do SMM, (d) módulo da amplitude do MHS e (e) as equações temporais da posição, velocidade e aceleração do MHS deste SMM. Considere a orientação vertical descendente (mesma direçāo da gravidade).
Passo 1
O enunciado trata de um corpo
que cai de repouso de uma altura
e colide elasticamente com um sistema massa-mola vertical composto pela massa
e constante elástica
. Precisamos usar (i) conservação de energia para queda livre, (ii) conservação de momento e energia cinética para colisão elástica unidimensional e (iii) conceitos de movimento harmônico simples (MHS) para o SMM resultante. Dados:
Passo 2
Para achar a velocidade de
imediatamente antes da colisão usamos conservação de energia potencial gravitacional
energia cinética:
Passo 3
Na colisão totalmente elástica unidimensional (eixo vertical descendente positivo) aplicamos
conservação do momento:
conservação do momento:
e conservação da energia cinética. As fórmulas conhecidas dão
Passo 4
A frequência angular do MHS do SMM (massa
suspensa na mola) é
Passo 5
Imediatamente após a colisão o ponto de equilíbrio estático da massa-mola já considera o peso de
, e a massa parte desse ponto com velocidade inicial
e deslocamento inicial
. Em MHS a amplitude é
Passo 6
Escolhendo o referencial em que
é o equilíbrio estático e
para baixo, as condições iniciais são
,
. Então
Resposta
(a)
(b) (para cima),
(para baixo).
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)