Questão 3 ( 2,0 pt ). (MHS, conservação de momento e energia) Um corpo de massa m1 está suspenso sobre um sistema massa-mola (SMM) em repouso (massa m2 e constante elástica k). A distância entre o corpo e a massa do SMM é h. Quando o corpo é liberado, ele cai livremente e colide elasticamente com o SMM que entra em MHS. Assumindo g=9,8 m / s^2, m1=1 kg, m2=2 kg, k=200 N / m e h=2 m, determine: (a) a velocidade do corpo imediatamente antes de colidir com o SMM; (b) as velocidades do corpo e da massa do SMM imediatamente após a colisão elástica; (c) a frequência angular do SMM, (d) módulo da amplitude do MHS e (e) as equações temporais da posição, velocidade e aceleração do MHS deste SMM. Considere a orientação vertical descendente (mesma direçāo da gravidade).

Passo 1

O enunciado trata de um corpo m1 que cai de repouso de uma altura h e colide elasticamente com um sistema massa-mola vertical composto pela massa m2 e constante elástica k. Precisamos usar (i) conservação de energia para queda livre, (ii) conservação de momento e energia cinética para colisão elástica unidimensional e (iii) conceitos de movimento harmônico simples (MHS) para o SMM resultante. Dados:
g=9,8 m/s^2,;m1=1 kg,;m2=2 kg,;k=200 N/m,;h=2 m

Passo 2

Para achar a velocidade de m1 imediatamente antes da colisão usamos conservação de energia potencial gravitacional to energia cinética:
m1 g h = tfrac12 m1 v1i^2
v1i = raiz2gh = raiz2cdot9,8cdot2approx raiz39,2approx6,26 m/s

Passo 3

Na colisão totalmente elástica unidimensional (eixo vertical descendente positivo) aplicamos
conservação do momento:
m1 v1i + m2cdot0 = m1 v1f + m2 v2f,
e conservação da energia cinética. As fórmulas conhecidas dão
v1f = m1 - m2m1 + m2,v1i = 1-21+2,v1i = -13,v1iapprox -2,09 m/s,
v2f = 2,m1m1 + m2,v1i = 23,v1iapprox4,17 m/s

Passo 4

A frequência angular do MHS do SMM (massa m2 suspensa na mola) é
omega = raizkm2 = raiz2002 = raiz100 = 10 rad/s

Passo 5

Imediatamente após a colisão o ponto de equilíbrio estático da massa-mola já considera o peso de m2, e a massa parte desse ponto com velocidade inicial v2f e deslocamento inicial x(0)=0. Em MHS a amplitude é
A = raizx(0)^2 + l(v2fomegar)^2 = |v2f|omega = 4,1710approx0,417 m

Passo 6

Escolhendo o referencial em que x=0 é o equilíbrio estático e x>0 para baixo, as condições iniciais são x(0)=0, v(0)=v2f. Então
x(t) = Asin(omega t) = 0,417,sin(10,t)(m),
v(t) = dxdt = Aomegacos(omega t) = 0,417cdot10cos(10,t)=4,17cos(10,t)(m/s),
a(t) = d^2xdt^2 = -Aomega^2sin(omega t) = -0,417cdot10^2sin(10,t)=-41,7sin(10,t)(m/s^2)

Resposta

(a) v1iapprox6,26 m/s
(b) v1fapprox-2,09 m/s (para cima), v2fapprox4,17 m/s (para baixo).
(c) omega=10 rad/s
(d) Aapprox0,417 m
(e)
x(t)=0,417sin(10t), v(t)=4,17cos(10t), a(t)=-41,7sin(10t)

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