Questão 5: Modelagem e Variáveis Separáveis (Valor: 1,5)

Em um modelo de crescimento populacional simples, a taxa de crescimento da população P em um tempo t é proporcional a P. Matematicamente, \frac{d P}{d t}=k P, onde k é a constante de proporcionalidade. Se a população inicial P(0)=P_{0}, encontre a solução que descreve a população P(t) em qualquer instante t.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
\frac{dP}{dt}=kP,
com a população inicial \,P(0)=P_{0}.
A pergunta é: encontrar a função P(t) que descreve a população em qualquer instante t.
Lista das informações relevantes fornecidas:
\,P(t) — população no tempo t;
\,t — tempo (variável independente);
\,k — constante de proporcionalidade (pode ser positiva, negativa ou zero);
\,P_{0} — valor da população em t=0 (condição inicial).

Passo 2

Observação sobre o tipo de equação e escolha do método (explicação didática): a equação \frac{dP}{dt}=kP é uma equação em que a derivada de P é proporcional a P em si. Isso permite separar as variáveis P e t em lados diferentes da equação — o método chamado de separação de variáveis. Esse método é simples e o mais direto aqui porque podemos escrever toda expressão envolvendo P num lado e toda expressão envolvendo t no outro, e então integrar. (Alternativas existem, mas para este tipo de equação linear de primeira ordem a separação é a maneira mais direta.)

Passo 3

Separação das variáveis (passo a passo): como queremos colocar termos com P num lado e termos com t no outro, dividimos ambos os lados por P (assumindo por enquanto P\neq0; o caso P\equiv0 é solução trivial que veremos depois):
\frac{1}{P}\,\frac{dP}{dt}=k.
Agora tratamos dP/dt como razão e escrevemos em forma diferencial:
\frac{1}{P}\,dP = k\,dt.
Aqui eu apenas reescrevi \frac{dP}{dt}\,dt=dP. É uma manipulação padrão para integrar ambos os lados.

Passo 4

Integração de ambos os lados: integramos a expressão obtida em relação às suas variáveis,
\int \frac{1}{P}\,dP = \int k\,dt.
Explicando a integral: a primitiva de \frac{1}{P} é \ln|P| porque \frac{d}{dP}\ln|P|=\frac{1}{P}. Do lado direito, k é constante em relação a t, então a integral é kt mais uma constante. Assim obtemos:
\ln|P| = kt + C,
onde \,C é a constante de integração.

Passo 5

Resolver para P: aplicamos exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
|P| = e^{kt+C} = e^{C}e^{kt}.
Chamando A=e^{C}>0 (uma constante positiva), temos |P|=A e^{kt}. Isso implica P=\pm A e^{kt}. Para simplificar a escrita das constantes, é comum escrever a solução geral como
P(t)=C_{1} e^{kt},
onde C_{1} é uma constante real (pode ser positiva, negativa ou zero). Observação importante: matematicamente P\equiv0 (ou seja, C_{1}=0) também é uma solução; fisicamente, para população costuma-se exigir P(t)\ge 0, então normalmente C_{1}\ge 0.

Passo 6

Usar a condição inicial para determinar a constante: como temos P(0)=P_{0}, substituímos t=0 em P(t)=C_{1}e^{kt}:
P_{0}=P(0)=C_{1}e^{k\cdot 0}=C_{1}\cdot 1,
logo C_{1}=P_{0}. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
P(t)=P_{0}e^{kt}.
Comentário prático: esse resultado já inclui o caso P_{0}=0 (que dá P(t)\equiv 0). Se P_{0}>0 e k>0 temos crescimento exponencial; se k<0 temos decaimento exponencial; se k=0 a população permanece constante igual a P_{0}.

Passo 7

Pequena intuição final e como usar na prova: memorize a forma padrão — quando \frac{dP}{dt}=kP com P(0)=P_{0}, a solução é \,P(t)=P_{0}e^{kt}. Na prova, faça esses passos rápidos: (1) separar \frac{1}{P}dP=kdt, (2) integrar para obter \ln|P|=kt+C, (3) exponenciar e aplicar a condição inicial. Se precisar dar significado físico, explique o sinal de k como acima. Vai dar certo — respira, anota os passos na folha e segue em frente!

Resposta

P(t)=P_{0}e^{kt}

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