Questão 5: Modelagem e Variáveis Separáveis (Valor: 1,5)
Em um modelo de crescimento populacional simples, a taxa de crescimento da população
em um tempo
é proporcional a
. Matematicamente,
, onde
é a constante de proporcionalidade. Se a população inicial
, encontre a solução que descreve a população
em qualquer instante
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
com a população inicial
.
A pergunta é: encontrar a função que descreve a população em qualquer instante
.
Lista das informações relevantes fornecidas:
— população no tempo
;
— tempo (variável independente);
— constante de proporcionalidade (pode ser positiva, negativa ou zero);
— valor da população em
(condição inicial).
A pergunta é: encontrar a função
Lista das informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Observação sobre o tipo de equação e escolha do método (explicação didática): a equação
é uma equação em que a derivada de
é proporcional a
em si. Isso permite separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação — o método chamado de separação de variáveis. Esse método é simples e o mais direto aqui porque podemos escrever toda expressão envolvendo
num lado e toda expressão envolvendo
no outro, e então integrar. (Alternativas existem, mas para este tipo de equação linear de primeira ordem a separação é a maneira mais direta.)
Passo 3
Separação das variáveis (passo a passo): como queremos colocar termos com
num lado e termos com
no outro, dividimos ambos os lados por
(assumindo por enquanto
; o caso
é solução trivial que veremos depois):
Agora tratamos
como razão e escrevemos em forma diferencial:
Aqui eu apenas reescrevi
. É uma manipulação padrão para integrar ambos os lados.
Passo 4
Integração de ambos os lados: integramos a expressão obtida em relação às suas variáveis,
Explicando a integral: a primitiva de
é
porque
. Do lado direito,
é constante em relação a
, então a integral é
mais uma constante. Assim obtemos:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Resolver para
: aplicamos exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Chamando
(uma constante positiva), temos
. Isso implica
. Para simplificar a escrita das constantes, é comum escrever a solução geral como
onde
é uma constante real (pode ser positiva, negativa ou zero). Observação importante: matematicamente
(ou seja,
) também é uma solução; fisicamente, para população costuma-se exigir
, então normalmente
.
Passo 6
Usar a condição inicial para determinar a constante: como temos
, substituímos
em
:
logo
. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
Comentário prático: esse resultado já inclui o caso
(que dá
). Se
e
temos crescimento exponencial; se
temos decaimento exponencial; se
a população permanece constante igual a
.
Passo 7
Pequena intuição final e como usar na prova: memorize a forma padrão — quando
com
, a solução é
. Na prova, faça esses passos rápidos: (1) separar
, (2) integrar para obter
, (3) exponenciar e aplicar a condição inicial. Se precisar dar significado físico, explique o sinal de
como acima. Vai dar certo — respira, anota os passos na folha e segue em frente!