Questão 3:(Valor: 2,0)
Encontre a solução geral da Equação Diferencial Homogênea, utilizando a substituição apropriada (y=u x ou x=v y) :
\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado pede: "Encontre a solução geral da Equação Diferencial Homogênea, utilizando a substituição apropriada (y=u x ou x=v y))" para a equação
\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+x^{2} d y=0.
Informações relevantes dadas:
(x^{2}+y^{2})\,dx + x^{2}\,dy = 0.
O que se pede: achar a solução geral (família de curvas implícita ou explícita) dessa equação diferencial, usando uma das substituições indicadas.

Passo 2

Transformo a equação para a forma \dfrac{dy}{dx} para identificar se é homogênea e qual substituição escolher. Parto de:
(x^{2}+y^{2})\,dx + x^{2}\,dy = 0.
Isolo dy:
x^{2}\,dy = -(x^{2}+y^{2})\,dx.
Dividindo por dx e por x^{2} (assumindo x\neq0 por enquanto):
\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}} = -1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}.
Observa-se que o lado direito depende apenas da razão y/x (pois \dfrac{y^{2}}{x^{2}}=(y/x)^{2}), logo a equação é homogênea e a substituição natural é
y = u x,
onde u é função de x. (Essa substituição transforma dependência em y/x numa função de u.)

Passo 3

Faço a substituição y = u x. Primeiro calculo dy/dx usando regra do produto (pois u depende de x):
\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.
Substituo na equação \dfrac{dy}{dx} = -1 - (y/x)^{2}. Como y/x = u, obtenho:
u + x\frac{du}{dx} = -1 - u^{2}.
Reorganizo para isolar \dfrac{du}{dx}:
x\frac{du}{dx} = -1 - u^{2} - u = -(u^{2}+u+1).
Agora separo variáveis:
\frac{du}{u^{2}+u+1} = -\frac{dx}{x}.

Passo 4

Vou integrar ambos os lados. Primeiro explico a integral à esquerda: precisamos calcular
\int \frac{du}{u^{2}+u+1}.
Para integrar racional com quadrático no denominador, eu completo o quadrado. Note:
u^{2}+u+1 = \left(u+\tfrac{1}{2}\right)^{2} + 1 - \tfrac{1}{4} = \left(u+\tfrac{1}{2}\right)^{2} + \tfrac{3}{4}.
Chamo w = u+\tfrac{1}{2}, então dw = du e o denominador fica w^{2} + (\tfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}. Uso a fórmula básica de integração:
\int \frac{dz}{z^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{z}{a}\right) + C,
onde a>0. Aplicando com z=w e a=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtenho:
\int \frac{du}{u^{2}+u+1} = \int \frac{dw}{w^{2}+(\tfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}} = \frac{1}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\arctan\!\left(\frac{w}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}\right) + C.
Simplificando \dfrac{1}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} e voltando a u (lembre w=u+\tfrac{1}{2}):
\int \frac{du}{u^{2}+u+1} = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2u+1}{\sqrt{3}}\right) + C.
Do lado direito temos
\int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + C.

Passo 5

Igualando as integrais (colocando as constantes juntas numa só constante C):
\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2u+1}{\sqrt{3}}\right) = -\ln|x| + C.
Multiplico por \dfrac{\sqrt{3}}{2} para simplificar:
\arctan\!\left(\frac{2u+1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\ln|x| + C_{1},
onde C_{1} é constante arbitrária. Lembro que u = \dfrac{y}{x}. Substituo:
\arctan\!\left(\frac{2(y/x)+1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\ln|x| + C_{1}.
Simplifico o argumento:
\frac{2(y/x)+1}{\sqrt{3}} = \frac{2y+x}{\sqrt{3}\,x}.
Portanto uma forma implícita conveniente da solução geral é
\arctan\!\left(\frac{2y+x}{\sqrt{3}\,x}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2}\ln|x| = C,
onde C é constante arbitrária (absorvi C_{1} mudando de sinal).

Passo 6

Comentário prático e alternativa: essa expressão é a solução implícita geral. Se você quiser, pode isolar a tangente e escrever explicitamente
\frac{2y+x}{\sqrt{3}\,x} = \tan\!\Big(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln|x| + C_{1}\Big),
ou
y = \frac{x}{2}\left(\sqrt{3}\,\tan\!\big(C_{1}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\ln|x|\big)-1\right).
Mas para provas costuma bastar a forma implícita com o \arctan e o \ln|x|.

Resposta

\displaystyle \arctan\!\left(\frac{2y+x}{\sqrt{3}\,x}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\ln|x|=C

Exercícios relacionados