Questão 3:(Valor: 2,0)
Encontre a solução geral da Equação Diferencial Homogênea, utilizando a substituição apropriada
ou
:
Encontre a solução geral da Equação Diferencial Homogênea, utilizando a substituição apropriada
Passo 1
O enunciado pede: "Encontre a solução geral da Equação Diferencial Homogênea, utilizando a substituição apropriada
ou
" para a equação
Informações relevantes dadas:
O que se pede: achar a solução geral (família de curvas implícita ou explícita) dessa equação diferencial, usando uma das substituições indicadas.
Passo 2
Transformo a equação para a forma
para identificar se é homogênea e qual substituição escolher. Parto de:
Isolo
:
Dividindo por
e por
(assumindo
por enquanto):
Observa-se que o lado direito depende apenas da razão
(pois
), logo a equação é homogênea e a substituição natural é
onde
é função de
. (Essa substituição transforma dependência em
numa função de
.)
Passo 3
Faço a substituição
. Primeiro calculo
usando regra do produto (pois
depende de
):
Substituo na equação
. Como
, obtenho:
Reorganizo para isolar
:
Agora separo variáveis:
Passo 4
Vou integrar ambos os lados. Primeiro explico a integral à esquerda: precisamos calcular
Para integrar racional com quadrático no denominador, eu completo o quadrado. Note:
Chamo
, então
e o denominador fica
. Uso a fórmula básica de integração:
onde
. Aplicando com
e
, obtenho:
Simplificando
e voltando a
(lembre
):
Do lado direito temos
Passo 5
Igualando as integrais (colocando as constantes juntas numa só constante
):
Multiplico por
para simplificar:
onde
é constante arbitrária. Lembro que
. Substituo:
Simplifico o argumento:
Portanto uma forma implícita conveniente da solução geral é
onde
é constante arbitrária (absorvi
mudando de sinal).
Passo 6
Comentário prático e alternativa: essa expressão é a solução implícita geral. Se você quiser, pode isolar a tangente e escrever explicitamente
ou
Mas para provas costuma bastar a forma implícita com o
e o
.