Use o enunciado a seguir para resolver as questões 6
E 7.
Considere f(x)=\frac{\sqrt{1-4 x}}{p(x)} e p(x)=x^{4}-x^{3}-2 x^{2}.
Questão 6 [1,0 ponto] Fatore o polinômio p(x) e encontre suas raízes.

Passo 1

O que o enunciado pede: fatorar o polinômio p(x) e encontrar as suas raízes.
Informações dadas: p(x)=x^{4}-x^{3}-2x^{2}.

Passo 2

Procuramos fatores comuns a todos os termos. Observando os termos x^{4}, -x^{3} e -2x^{2}, vemos que todos têm pelo menos x^{2} como fator comum. Retirando esse fator comum, fazemos:
p(x)=x^{4}-x^{3}-2x^{2}=x^{2}\bigl(x^{2}-x-2\bigr).
Explicação do passo: ao fatorar por fator comum, extraímos o maior monômio que divide cada termo do polinômio. Aqui x^{2} divide todos os termos, então escrevemos p(x)=x^{2}\cdot(\text{resto}).

Passo 3

Agora fatoramos o polinômio quadrático \,x^{2}-x-2. Uma técnica simples é procurar dois números que multiplicam para o termo constante -2 e somam para o coeficiente de x, que é -1. Os candidatos inteiros são -2 e 1, pois
(-2)\cdot 1=-2\quad\text{e}\quad (-2)+1=-1.
Portanto esse quadrático se fatoriza como
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).

Passo 4

Juntando com o fator extraído no Passo 2, obtemos a fatoração completa do polinômio:
p(x)=x^{2}(x-2)(x+1).
Comentário didático: cada fator linear (x-a) corresponde a uma raiz x=a. Se um fator aparece com potência maior que 1 (aqui x^{2}), dizemos que a raiz tem multiplicidade correspondente (aqui multiplicidade 2 para x=0).

Passo 5

Encontrando as raízes: colocamos cada fator igual a zero.
x^{2}=0 \Rightarrow x=0\\ (\text{multiplicidade }2),
x-2=0 \Rightarrow x=2,
x+1=0 \Rightarrow x=-1.
Como verificação alternativa (opcional), poderíamos aplicar a fórmula de Bhaskara no quadrático x^{2}-x-2: as raízes são
\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm3}{2},
que dá x=2 e x=-1, consistente com a fatoração acima.

Resposta

p(x)=x^{2}(x-2)(x+1)
raízes: x=0 (multiplicidade 2), x=2, x=-1

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