Questão 6

Uma mola, sem ser esticada, possui 10 cm de comprimento. Na mola pendura-se uma xícara de café de 300 g de massa e a mola estica, ficando com 20 cm de comprimento. Utilize \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
(a) Determine a constante elástica da mola.
A xícara e a mola são então colocadas sobre uma mesa. A mola é presa a um gancho na parede e é colocada para iniciar seu movimento oscilatório. Suponha que o atrito com a mesa seja desprezível.
(b) Obtenha o período de oscilação da xícara.
(c) Em um sistema de coordenadas em que o gancho que prende a mola fica à esquerda da xícara, na posição
x=-10 \mathrm{~cm}, a posição da xícara em função do tempo é dada por x(t)= A \cos (\omega t+\pi), sendo A=6 \mathrm{~cm}. Podemos concluir que, na condição inicial,
  1. A mola sofre um estiramento de 6 cm , partindo do repouso da xícara.
  2. A mola sofreu uma compressão de 6 cm , partindo do repouso da xícara.
  3. O módulo da velocidade inicial é 0,6 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
  4. O movimento iniciou-se com um empurrão, partindo da posição de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado dá uma mola de comprimento natural 10,cm que, ao sustentar uma xícara de massa 300,g, estica até 20,cm. Depois essa xícara e mola ficam sobre mesa sem atrito, executando MHS com
x(t)=A\cos(\omega t+\pi),\quad A=6\text{ cm}.
Pede-se:
(a) constante elástica k;
(b) período T;
(c) a partir de x(t) quais conclusões iniciais sobre estiramento/compressão, velocidade e condição de início.

Passo 2

Para o equilíbrio estático pendurada, força peso igual força elástica:
mg = k\,\Delta x.
Aqui m=0{,}300,kg, g=10,m/s ^2 e \Delta x = (20-10),cm = 0{,}10,m. Logo,
k = \frac{m\,g}{\Delta x} = \frac{0{,}300\cdot10}{0{,}10} = 30\text{ N/m}.

Passo 3

No MHS sem atrito, o período é
T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} =2\pi\sqrt{\frac{0{,}300}{30}} =2\pi\sqrt{0{,}01} =2\pi\cdot0{,}1 =0{,}2\pi\text{ s}\approx0{,}63\text{ s}.

Passo 4

A pulsação vale
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} =\sqrt{\frac{30}{0{,}300}} =\sqrt{100} =10\text{ rad/s}.
Em MHS definimos x(t) a partir da posição de equilíbrio. Assim, em t=0:
x(0)=A\cos(\pi)=-A=-6\text{ cm},
logo a mola está comprimida 6,cm. A velocidade é
v(t)=-A\,\omega\sin(\omega t+\pi),
então
v(0)=-A\,\omega\sin(\pi)=0.

Passo 5

Agora analisamos as quatro afirmações iniciais:
  1. “A mola sofre um estiramento de 6 cm” – falso, pois x(0)=-6 cm indica compressão.
  2. “A mola sofreu uma compressão de 6 cm” – verdadeiro.
  3. “O módulo da velocidade inicial é 0{,}6,m/s” – falso, pois v(0)=0.
  4. “O movimento iniciou-se com um empurrão, partindo da posição de equilíbrio” – falso, pois partiu de x\neq0 e v=0.

Resposta

(a) k=30,N/m
(b) T=0{,}2\pi,s (aprox.\ 0{,}63,s)
(c) Apenas a afirmação 2 é correta.

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