Questão 3: Mostre que o conjunto de vetores dados é uma base de M(2).
[cc 3 & 6 3 & -6 ],[cc 0 & -1 -1 & 0 ],[cc 0 & -8 -12 & -4 ],[cc 1 & 0 -1 & 2 ]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os quatro matrizes abaixo formam uma base de M(2), o espaço das matrizes 2times2 sobre R. Sabendo que dim M(2)=4, basta provar que esses vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,beta,gamma,de<a tais que a combinação linear seja a matriz zero. Queremos mostrar que alpha=beta=gamma=de<a=0. Escrevendo
alpha3&63&-6 +beta0&-1-1&0 +gamma0&-8-12&-4 +de<a1&0-1&2 =0&00&0,
e igualando cada entrada, obtemos o sistema
3alpha + de<a = 0, 6alpha - beta - 8gamma = 0, 3alpha - beta - 12gamma - de<a = 0, -6alpha - 4gamma + 2de<a = 0

Passo 3

Da primeira equação segue
de<a = -3alpha
Da segunda equação segue
beta = 6alpha - 8gamma
Substituindo beta e de<a na terceira equação:
3alpha - (6alpha-8gamma) -12gamma -(-3alpha)=0 Longrightarrow -4gamma=0 Longrightarrow gamma=0
Então beta=6alpha e de<a=-3alpha. Inserindo esses valores na quarta equação:
-6alpha -4cdot 0 +2(-3alpha)=0 Longrightarrow -12alpha=0 Longrightarrow alpha=0
Logo alpha=beta=gamma=de<a=0.

Passo 4

Encontramos apenas a solução trivial para a combinação linear, o que mostra que as quatro matrizes são linearmente independentes. Como temos quatro vetores em um espaço de dimensão quatro, eles formam uma base de M(2).

Resposta

O conjunto dado é uma base de M(2).

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