A tira plana recebe tinta usando 6 bocais, cada um tendo um diâmetro de 2 mm . Eles estão presos a um tubo com 20 mm de diâmetro. A tira tem 50 mm de largura, e a pintura deverá ter 1 mm de espessura. Se a velocidade média da tinta através do tubo é
, determine a velocidade necessária V da tira enquanto passa sob os bocais.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a velocidade
da tira enquanto passa sob os bocais, dado um sistema de alimentação por um tubo com bocais. As informações fornecidas (peguei alguns valores da figura) são:
- número de bocais:
, - diâmetro de cada bocal:
(ou seja, ), - diâmetro do tubo:
(ou seja, ), - largura da tira:
(ou seja, ), - espessura da camada de tinta desejada:
(ou seja, ), - velocidade média da tinta no tubo:
.
O objetivo é achar
tal que o volume de tinta fornecido pelo tubo por unidade de tempo seja igual ao volume de tinta depositado sobre a tira por unidade de tempo (assumindo que toda a tinta que sai do tubo é depositada na tira).
Passo 2
Conceito importante (aula curtinha): a vazão volumétrica
é o volume que passa por uma seção por unidade de tempo e vale
onde
é a área da seção transversal e
a velocidade média do fluido nessa seção. Aqui vamos calcular a vazão fornecida pelo tubo.
Área do tubo:
Substituindo
e efetuando passo a passo:
Vazão no tubo:
Passo 3
Agora a vazão necessária para formar a camada sobre a tira: a quantidade de tinta depositada por segundo é a área da sessão de tinta sobre a tira (espessura
largura) multiplicada pela velocidade da tira. Em fórmula:
onde
é a espessura da camada,
é a largura da tira e
é a velocidade da tira (o que queremos). Convertendo unidades:
,
. Então
Portanto
Passo 4
Agora igualamos a vazão fornecida pelo tubo com a vazão depositada na tira (hipótese de conservação de massa e que toda a tinta é depositada):
Substituindo as expressões:
Isolando
:
Arredondando de forma razoável:
Passo 5
Checagem (curiosidade didática): pode-se calcular a velocidade de saída média pelos bocais usando a área total dos
bocais. Área de um bocal:
Área total de
bocais:
Velocidade média pela saída dos bocais (continuidade):
Isto só serve para dar uma ideia da ordem de grandeza: a tinta sai bem mais rápido pelos bocais do que a velocidade média no tubo, porque a área total dos bocais é muito menor que a área do tubo.