A tira plana recebe tinta usando 6 bocais, cada um tendo um diâmetro de 2 mm . Eles estão presos a um tubo com 20 mm de diâmetro. A tira tem 50 mm de largura, e a pintura deverá ter 1 mm de espessura. Se a velocidade média da tinta através do tubo é 1,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine a velocidade necessária V da tira enquanto passa sob os bocais.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a velocidade V da tira enquanto passa sob os bocais, dado um sistema de alimentação por um tubo com bocais. As informações fornecidas (peguei alguns valores da figura) são:
  • número de bocais: 6,
  • diâmetro de cada bocal: 2\\ \mathrm{mm} (ou seja, D_{\text{bocal}}=2\\ \mathrm{mm}),
  • diâmetro do tubo: 20\\ \mathrm{mm} (ou seja, D_{\text{tubo}}=20\\ \mathrm{mm}),
  • largura da tira: 50\\ \mathrm{mm} (ou seja, w=50\\ \mathrm{mm}),
  • espessura da camada de tinta desejada: 1\\ \mathrm{mm} (ou seja, h=1\\ \mathrm{mm}),
  • velocidade média da tinta no tubo: 1,5\\ \mathrm{m/s}.
O objetivo é achar V tal que o volume de tinta fornecido pelo tubo por unidade de tempo seja igual ao volume de tinta depositado sobre a tira por unidade de tempo (assumindo que toda a tinta que sai do tubo é depositada na tira).

Passo 2

Conceito importante (aula curtinha): a vazão volumétrica Q é o volume que passa por uma seção por unidade de tempo e vale
Q = A\,v,
onde A é a área da seção transversal e v a velocidade média do fluido nessa seção. Aqui vamos calcular a vazão fornecida pelo tubo.
Área do tubo:
A_{\text{tubo}} = \pi\left(\frac{D_{\text{tubo}}}{2}\right)^2
Substituindo D_{\text{tubo}}=20\\ \mathrm{mm}=0,020\\ \mathrm{m} e efetuando passo a passo:
A_{\text{tubo}} = \pi\left(0,010\right)^2 = \pi\cdot 1{,}0\times 10^{-4} \approx 3{,}1416\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Vazão no tubo:
Q_{\text{tubo}} = A_{\text{tubo}}\,v_{\text{tubo}} = 3{,}1416\times 10^{-4}\cdot 1{,}5 \approx 4{,}7124\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Agora a vazão necessária para formar a camada sobre a tira: a quantidade de tinta depositada por segundo é a área da sessão de tinta sobre a tira (espessura \times largura) multiplicada pela velocidade da tira. Em fórmula:
Q_{\text{tira}} = h\,w\,V,
onde h é a espessura da camada, w é a largura da tira e V é a velocidade da tira (o que queremos). Convertendo unidades: h=1\\ \mathrm{mm}=0,001\\ \mathrm{m}, w=50\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{m}. Então
h\,w = 0{,}001\cdot 0{,}05 = 5{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
Portanto
Q_{\text{tira}} = 5{,}0\times 10^{-5}\,V\quad\text{(em } \mathrm{m^3/s}\text{).}

Passo 4

Agora igualamos a vazão fornecida pelo tubo com a vazão depositada na tira (hipótese de conservação de massa e que toda a tinta é depositada):
Q_{\text{tubo}} = Q_{\text{tira}}.
Substituindo as expressões:
4{,}7124\times 10^{-4} = 5{,}0\times 10^{-5}\,V.
Isolando V:
V = \frac{4{,}7124\times 10^{-4}}{5{,}0\times 10^{-5}} = 9{,}4248\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma razoável:
V \approx 9{,}42\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Checagem (curiosidade didática): pode-se calcular a velocidade de saída média pelos bocais usando a área total dos 6 bocais. Área de um bocal:
A_{\text{bocal}}=\pi\left(\frac{0{,}002}{2}\right)^2=\pi(0{,}001)^2\approx 3{,}1416\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2}.
Área total de 6 bocais:
A_{\text{6}}=6\cdot 3{,}1416\times 10^{-6}\approx 1{,}88496\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média pela saída dos bocais (continuidade):
v_{\text{bocais}}=\frac{Q_{\text{tubo}}}{A_{\text{6}}} \approx \frac{4{,}7124\times 10^{-4}}{1{,}88496\times 10^{-5}}\approx 25\\ \mathrm{m/s}.
Isto só serve para dar uma ideia da ordem de grandeza: a tinta sai bem mais rápido pelos bocais do que a velocidade média no tubo, porque a área total dos bocais é muito menor que a área do tubo.

Resposta

9{,}42\\ \mathrm{m/s}

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