Questão 4: (4,0)
Mostre a expressão que representa a equação de Taylor e descreva resumidamente o procedimento experimental para obtenção desta equação.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a forma geral da expansão de Taylor de uma função f(x) em torno de um ponto a e, em seguida, descrever resumidamente como, na prática experimental, podemos obter os coeficientes dessa expansão. O conteúdo é série de Taylor e vamos precisar das derivadas de f no ponto a.

Passo 2

A expressão geral da expansão de Taylor de ordem n de f(x) em torno de x=a é
T_n(x) \;=\; \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x - a)^{k} \;+\; R_{n}(x),
onde
R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1} \quad\text{(resto de Lagrange, algum }\xi\text{ entre }a\text{ e }x\text{).}

Passo 3

Procedimento experimental para obter T_n(x):
  1. Escolher o ponto de expansão a.
  2. Medir o valor de f(a).
  3. Para cada k=1,2,\dots,n, aproximar f^{(k)}(a) por diferenças finitas usando medidas de f em pontos próximos a a (por exemplo,
    \displaystyle f'(a)\approx\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h},
    \displaystyle f''(a)\approx\frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{h^2}, etc.).
  4. Dividir cada derivada aproximada por k! para obter o coeficiente \tfrac{f^{(k)}(a)}{k!}.
  5. Substituir todos esses coeficientes em
    \sum_{k=0}^{n}\tfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}
    para obter a aproximação polinomial de ordem n.

Resposta

T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x - a)^{k} + R_{n}(x),
onde
R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,(x-a)^{n+1}.
Procedimento experimental: escolher o ponto a, medir f em a e em pontos próximos, usar diferenças finitas para estimar f^{(k)}(a), dividir por k! e montar o polinômio acima.

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