Questão 3. Mostre que a função f(x, y, z)=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} è soluçāo da scguinte cquaçāo difercncial:
x^{2} \cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+y^{2} \cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+z^{2} \cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=2 \cdot f

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y,z)=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\, e pede para mostrar que ela é solução da equação diferencial
x^{2}\cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+y^{2}\cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+z^{2}\cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=2\cdot f.
Resumindo o que devemos fazer:
  • Calcular as derivadas parciais de f em relação a \,x\,,\,y\,,\,z, até a segunda ordem.
  • Multiplicar cada segunda derivada pelo respectivo quadrado \,x^{2},y^{2},z^{2}\, e somar.
  • Mostrar que a soma obtida é igual a 2\cdot f.

Passo 2

Primeiro, uma pequena revisão didática sobre derivadas parciais: a derivada parcial de f em relação a \,x mantém \,y e \,z fixos e diferencia \,f apenas em relação a \,x. Regras usuais de diferenciação (constante multiplicativa, potência) valem normalmente.
Calculemos \dfrac{\partial f}{\partial x}. Como
f(x,y,z)=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x},
cada termo depende de variáveis diferentes:
  • \dfrac{x}{y} visto como função de x é \dfrac{1}{y}\cdot x, então a derivada em relação a x é \dfrac{1}{y} (pois \dfrac{1}{y} é constante quando diferenciamos em x).
  • \dfrac{y}{z} não depende de x, então sua derivada é 0.
  • \dfrac{z}{x}=z\cdot x^{-1}. Aplicando a regra da potência, a derivada de x^{-1} é -1\cdot x^{-2}, multiplicada por z (constante) dá -\dfrac{z}{x^{2}}.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{y}-\frac{z}{x^{2}}.

Passo 3

Agora derivamos \dfrac{\partial f}{\partial x} novamente em relação a \,x para obter \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}.
Na expressão \dfrac{1}{y}-\dfrac{z}{x^{2}}:
  • \dfrac{1}{y} é constante em x, então sua derivada é 0.
  • Para -\dfrac{z}{x^{2}}=-z\cdot x^{-2}, tratamos z como constante e aplicamos a regra da potência: a derivada de x^{-2} é -2x^{-3}. Então
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -z \cdot (-2)x^{-3} = 2\,\frac{z}{x^{3}}.
Mostrando passo a passo a regra usada: se g(x)=c\cdot x^{n} com c constante, então g'(x)=c\cdot n x^{n-1}. Aqui c=-z e n=-2, daí g'(x)=(-z)(-2)x^{-3}=2z x^{-3}.

Passo 4

Façamos a mesma conta para as derivadas em y e z.
Derivada primeira em y:
  • \dfrac{x}{y}=x\cdot y^{-1} tem derivada em y igual a x\cdot(-1)y^{-2}=-\dfrac{x}{y^{2}}.
  • \dfrac{y}{z} visto como função de y é \dfrac{1}{z}\cdot y, derivada \dfrac{1}{z}.
  • \dfrac{z}{x} não depende de y, derivada 0.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{x}{y^{2}}+\frac{1}{z}.
Derivada segunda em y: derivando -\dfrac{x}{y^{2}}=-x\cdot y^{-2} em y (com x constante) obtemos -x\cdot(-2)y^{-3}=2\,\dfrac{x}{y^{3}}. O termo \dfrac{1}{z} é constante em y e some. Assim
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2\,\frac{x}{y^{3}}.

Passo 5

Agora para z:
Derivada primeira em z:
  • \dfrac{x}{y} não depende de z: derivada 0.
  • \dfrac{y}{z}=y\cdot z^{-1} tem derivada -y\cdot z^{-2}=-\dfrac{y}{z^{2}}.
  • \dfrac{z}{x}=\dfrac{1}{x}\cdot z tem derivada \dfrac{1}{x}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial z}=-\frac{y}{z^{2}}+\frac{1}{x}.
Derivada segunda em z: derivando -\dfrac{y}{z^{2}}=-y\cdot z^{-2} em z (com y constante) dá -y\cdot(-2)z^{-3}=2\,\dfrac{y}{z^{3}}. Assim
\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=2\,\frac{y}{z^{3}}.

Passo 6

Agora multiplicamos cada segunda derivada pelo quadrado da variável correspondente e somamos:
Primeiro termo:
x^{2}\cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = x^{2}\cdot \left(2\,\frac{z}{x^{3}}\right) =2\,\frac{z}{x}.
Segundo termo:
y^{2}\cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = y^{2}\cdot \left(2\,\frac{x}{y^{3}}\right) =2\,\frac{x}{y}.
Terceiro termo:
z^{2}\cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} = z^{2}\cdot \left(2\,\frac{y}{z^{3}}\right) =2\,\frac{y}{z}.
Somando os três termos:
x^{2}\cdot f_{xx}+y^{2}\cdot f_{yy}+z^{2}\cdot f_{zz} =2\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right).

Passo 7

Observe que \dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z} é exatamente a mesma soma que define f(x,y,z)=\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x} (a ordem dos termos não altera a soma). Portanto
x^{2}\cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+y^{2}\cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+z^{2}\cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} =2\cdot f(x,y,z).
Isso prova que \,f é solução da equação dada.

Resposta

x^{2}\cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+y^{2}\cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+z^{2}\cdot \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=2\cdot f

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