Questão 3. Mostre que a função
è soluçāo da scguinte cquaçāo difercncial:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que ela é solução da equação diferencial
Resumindo o que devemos fazer:
- Calcular as derivadas parciais de
em relação a , até a segunda ordem. - Multiplicar cada segunda derivada pelo respectivo quadrado
e somar. - Mostrar que a soma obtida é igual a
.
Passo 2
Primeiro, uma pequena revisão didática sobre derivadas parciais: a derivada parcial de
em relação a
mantém
e
fixos e diferencia
apenas em relação a
. Regras usuais de diferenciação (constante multiplicativa, potência) valem normalmente.
Calculemos
. Como
cada termo depende de variáveis diferentes:
-
visto como função de é , então a derivada em relação a é (pois é constante quando diferenciamos em ). -
não depende de , então sua derivada é . -
. Aplicando a regra da potência, a derivada de é , multiplicada por (constante) dá .
Portanto,
Passo 3
Agora derivamos
novamente em relação a
para obter
.
Na expressão
:
-
é constante em , então sua derivada é . - Para
, tratamos como constante e aplicamos a regra da potência: a derivada de é . Então
Mostrando passo a passo a regra usada: se
com
constante, então
. Aqui
e
, daí
.
Passo 4
Façamos a mesma conta para as derivadas em
e
.
Derivada primeira em
:
-
tem derivada em igual a . -
visto como função de é , derivada . -
não depende de , derivada .
Logo
Derivada segunda em
: derivando
em
(com
constante) obtemos
. O termo
é constante em
e some. Assim
Passo 5
Agora para
:
Derivada primeira em
:
-
não depende de : derivada . -
tem derivada . -
tem derivada .
Portanto
Derivada segunda em
: derivando
em
(com
constante) dá
. Assim
Passo 6
Agora multiplicamos cada segunda derivada pelo quadrado da variável correspondente e somamos:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Somando os três termos:
Passo 7
Observe que
é exatamente a mesma soma que define
(a ordem dos termos não altera a soma). Portanto
Isso prova que
é solução da equação dada.