Questão 5. Mostre que não existem a, b, c \in \mathbb{R} de que
A=\left(\begin{array}{ll} a & b \\\\ 2 & c \end{array}\right) .
seja simétrica e ortogonal ao mesmo tempo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existem a,b,c\in\mathbb{R} tais que a matriz
A=\left(\begin{array}{ll} a & b \\\\ 2 & c \end{array}\right)
seja simultaneamente simétrica e ortogonal.
Informações fornecidas pelo enunciado:
A matriz A tem entradas a,b,c reais e o elemento na posição (2,1) é 2.
Precisa-se provar que não há escolha de a,b,c\in\mathbb{R} que torne A ao mesmo tempo simétrica e ortogonal.
Passo 2
Usar a condição de simetria para obter relações entre as entradas.
Definição (simetria): uma matriz A é simétrica quando A^{T}=A. Isso significa que cada elemento fora da diagonal principal compatibiliza com o seu simétrico: A_{ij}=A_{ji} para todo i,j. Aplicando isso à A dada, obtemos, para a posição (1,2) e (2,1),
b = 2.
Portanto, se A for simétrica, ela tem necessariamente a forma
A=\left(\begin{array}{ll} a & 2 \\\\ 2 & c \end{array}\right).
Passo 3
Apresentar a condição de ortogonalidade e uma consequência útil no caso simétrico.
Definição (ortogonalidade): uma matriz A é ortogonal quando
A^{T}A=I,
onde I é a matriz identidade. Para uma matriz que é ao mesmo tempo simétrica (A^{T}=A) e ortogonal (A^{T}A=I), substituindo A^{T}=A na condição da ortogonalidade obtemos
A A = I,
isto é,
A^{2}=I.
Assim, a matriz deve ser uma involução: ao quadrado dá a identidade. Esta observação simplifica muito o cálculo: basta calcular A^{2} e exigir que seja I.
Passo 4
Calcular A^{2} elemento a elemento. Lembrando que o elemento (i,j) de A^{2} é (A^{2})_{ij}=\sum_{k=1}^{2}A_{ik}A_{kj}. Com A=\left(\begin{smallmatrix}a&2\\[2pt]2&c\end{smallmatrix}\right) temos:
Entrada (1,1):
(A^{2})_{11}=a\cdot a + 2\cdot 2 = a^{2}+4.
Entrada (1,2):
(A^{2})_{12}=a\cdot 2 + 2\cdot c = 2a+2c = 2(a+c).
Entrada (2,1) (igual à (1,2) por simetria percebida):
(A^{2})_{21}=2\cdot a + c\cdot 2 = 2a+2c = 2(a+c).
Impor a condição A^{2}=I\) e examinar as equações resultantes. Igualando \(A^{2}\) à identidade \(\displaystyle I=\left(\begin{smallmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{smallmatrix}\right)\) obtemos o sistema
\[\begin{cases} a^{2}+4 = 1,\\[4pt] 2(a+c)=0,\\[4pt] 4+c^{2}=1. \end{cases}
Da primeira equação segue
a^{2}=1-4=-3,
e da terceira segue
c^{2}=1-4=-3.
Mas não existem números reais cujo quadrado seja -3\]. Ou seja, \(a^{2}=-3 e c^{2}=-3 são impossíveis em \mathbb{R}. Portanto chegamos a uma contradição: as equações exigidas por A^{2}=I não têm solução real.]
Passo 6
Concluir usando a contradição encontrada. A suposição inicial de que existem a,b,c\in\mathbb{R} fazendo A simétrica e ortogonal levou a exigências impossíveis (a^{2}=-3 e c^{2}=-3). Logo não existem tais números reais.
Resposta
Não existem a,b,c\in\mathbb{R} tais que A seja simultaneamente simétrica e ortogonal.