Sejam T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear, em que \mathbb{R}^{3} está munido com o produto interno usual, e \alpha a base canônica de \mathbb{R}^{3}. Assuma que [T]_{\alpha}=A e, se possível, determine uma base ortonormal formada por autovetores de T nos itens abaixo.
b) A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 2 & -1 & 1\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica \alpha é
O que se pede: determinar, se possível, uma base ortonormal de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T.
Informações relevantes dadas:
A matriz A é fornecida explicitamente (veja acima).
Deve-se produzir vetores ortonormais (norma 1 e mutuamente ortogonais) que sejam autovetores de A.]
Passo 2
Primeiro reconhecimento importante (teoria curta e útil): uma matriz simétrica real tem uma base ortonormal de autovetores (teorema espectral para matrizes reais simétricas). Verificar simetria de A:
portanto A é simétrica. Conclusão: existe sim uma base ortonormal de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A. Agora vamos achar explicitamente esses autovetores e normalizá‑los.]
Passo 3
Calcular os autovalores resolvendo \det(A-\lambda I)=0. Escrevendo A-\lambda I:
Igualando as duas expressões para z\]:
\[\dfrac{\sqrt{5}}{2}x=-\sqrt{5}\,y \quad\Rightarrow\quad y=-\dfrac{1}{2}x.\]
Tomando \(x=2 para evitar frações, obtemos y=-1 e então z=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\cdot 2=\sqrt{5}. Assim um autovetor conveniente é
Os vetores u_1,u_2,u_3 são autovetores correspondentes a autovalores distintos, logo linearmente independentes.
Como A é simétrica, autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais; de fato pode-se verificar o produto escalar:u_1\cdot u_2=0,\qquad u_1\cdot u_3=0,\qquad u_2\cdot u_3=0.
Cada u_i tem norma 1 por construção. Portanto \{u_1,u_2,u_3\} é uma base ortonormal de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de T.