(5%) Questão 2. Mostre que se |x+y|=|x|+|y| então |a x+b y|=a|x|+b|y| para quaisquer a, b \geqslant 0.

Passo 1

O enunciado dá a hipótese
|x+y| = |x| + |y|
e pede para mostrar que, para quaisquer a,b \geqslant 0,
|a x + b y| = a|x| + b|y|.
Informações relevantes fornecidas:
  • x e y são números reais (o símbolo |\cdot| refere-se ao valor absoluto real).
  • A hipótese é a igualdade entre |x+y| e |x|+|y|.
  • Os parâmetros a e b são números reais não negativos: a\geqslant 0 e b\geqslant 0.
    A partir disso devemos deduzir a igualdade solicitada para todos esses a,b.

Passo 2

Lembretes e propriedades que vamos usar (com explicação):
  1. Propriedade multiplicativa do valor absoluto: para quaisquer reais u e k vale
|k u| = |k|\,|u|.
Explicação: se k\ge 0 então |k|=k e |k u|=k|u|; se k<0 então |k|=-k e k u = -|k|u leva a |k u|=|k|\,|u|. Esta é uma identidade básica e será usada para transformar |ax| em a|x| quando a\ge 0.
  1. Desigualdade triangular: para quaisquer reais u,v,
|u+v| \le |u| + |v|.
Explicação: esta é a forma mais conhecida da desigualdade triangular para números reais. Além disso, para números reais a condição de igualdade é clara: |u+v| = |u|+|v| acontece precisamente quando u e v têm o mesmo sinal (ou um deles é zero). Vamos provar e usar essa equivalência a seguir.

Passo 3

Mostrar que a hipótese implica que x e y têm o mesmo sinal (ou seja, xy\ge 0).
Começamos a partir da hipótese e quadramos ambos os lados (ambos não negativos, então quadrar preserva a equivalência):
(x+y)^2 = (|x|+|y|)^2.
Expandindo os dois lados obtemos
x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + 2|x||y| + y^2.
Cancelando x^2+y^2 em ambos os lados resta
2xy = 2|x||y|.
Dividindo por 2,
xy = |x||y|.
Mas |x||y| = |xy|, portanto xy = |xy|. Isso implica que xy \ge 0. Em palavras: a hipótese força x e y a terem o mesmo sinal (ou algum deles ser zero).
Também vale a recíproca: se xy\ge 0 então x e y têm o mesmo sinal e é fácil ver que |x+y|=|x|+|y| (se ambos não-negativos, x+y=x+ y; se ambos não-positivos, |x+y|=-(x+y)=|x|+|y|). Assim as duas condições são equivalentes.

Passo 4

Usar que xy\ge 0 e a,b\ge 0 para verificar o sinal de ax e by.
Calcule o produto (ax)(by):
(ax)(by) = ab\,(xy).
Como a\ge 0, b\ge 0 e xy\ge 0, segue ab\,(xy)\ge 0. Logo (ax)(by)\ge 0, isto é, ax e by também têm o mesmo sinal (ou um deles é zero).

Passo 5

Aplicar a condição de igualdade da desigualdade triangular a ax e by.
Pela observação do passo anterior, como ax e by têm o mesmo sinal, vale
|ax + by| = |ax| + |by|
(pela mesma razão que levou a |x+y|=|x|+|y| quando x e y têm o mesmo sinal).

Passo 6

Substituir |ax| e |by| usando a propriedade multiplicativa do valor absoluto e concluir.
Pela propriedade |k u| = |k|\,|u| e como a,b\ge 0 temos |a|=a e |b|=b. Assim
|ax| = a|x|,\qquad |by| = b|y|.
Juntando com a igualdade do passo anterior:
|ax+by| = |ax| + |by| = a|x| + b|y|.
Isso é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

|a x + b y| = a|x| + b|y|

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