(5%) Questão 2. Mostre que se
então
para quaisquer
.
Passo 1
O enunciado dá a hipótese
e pede para mostrar que, para quaisquer
,
Informações relevantes fornecidas:
-
e são números reais (o símbolo refere-se ao valor absoluto real). - A hipótese é a igualdade entre
e . - Os parâmetros
e são números reais não negativos: e .
A partir disso devemos deduzir a igualdade solicitada para todos esses.
Passo 2
Lembretes e propriedades que vamos usar (com explicação):
- Propriedade multiplicativa do valor absoluto: para quaisquer reais
e vale
Explicação: se
então
e
; se
então
e
leva a
. Esta é uma identidade básica e será usada para transformar
em
quando
.
- Desigualdade triangular: para quaisquer reais
,
Explicação: esta é a forma mais conhecida da desigualdade triangular para números reais. Além disso, para números reais a condição de igualdade é clara:
acontece precisamente quando
e
têm o mesmo sinal (ou um deles é zero). Vamos provar e usar essa equivalência a seguir.
Passo 3
Mostrar que a hipótese implica que
e
têm o mesmo sinal (ou seja,
).
Começamos a partir da hipótese e quadramos ambos os lados (ambos não negativos, então quadrar preserva a equivalência):
Expandindo os dois lados obtemos
Cancelando
em ambos os lados resta
Dividindo por
,
Mas
, portanto
. Isso implica que
. Em palavras: a hipótese força
e
a terem o mesmo sinal (ou algum deles ser zero).
Também vale a recíproca: se
então
e
têm o mesmo sinal e é fácil ver que
(se ambos não-negativos,
; se ambos não-positivos,
). Assim as duas condições são equivalentes.
Passo 4
Usar que
e
para verificar o sinal de
e
.
Calcule o produto
:
Como
,
e
, segue
. Logo
, isto é,
e
também têm o mesmo sinal (ou um deles é zero).
Passo 5
Aplicar a condição de igualdade da desigualdade triangular a
e
.
Pela observação do passo anterior, como
e
têm o mesmo sinal, vale
(pela mesma razão que levou a
quando
e
têm o mesmo sinal).
Passo 6
Substituir
e
usando a propriedade multiplicativa do valor absoluto e concluir.
Pela propriedade
e como
temos
e
. Assim
Juntando com a igualdade do passo anterior:
Isso é exatamente o que se queria demonstrar.