Questão 7. Mostre as seguintes propriedades de invariância da equação da onda
.
(c) A dilatação
é também uma solução para qualquer constante a.
(c) A dilatação
Passo 1
O enunciado nos dá que
é uma função suficientemente suave (pelo menos duas vezes diferenciável em
e
) que satisfaz a equação da onda
A tarefa é mostrar que, para qualquer constante
, a função obtida pela dilatação
também satisfaz a mesma equação da onda, ou seja, que
.
Passo 2
Vou recordar e explicar a regra da cadeia para derivadas parciais, porque é a ferramenta que vamos usar. Seja uma função composta
onde
e
são funções de
e
. As derivadas parciais de
obedecem à regra da cadeia:
Aqui
e
significam as derivadas parciais de
em relação ao primeiro e segundo argumento, avaliadas no ponto
. As notações
são as derivadas parciais de
e
em relação a
e
. A ideia é: ao derivar
em relação a
mantém-se
fixo e soma-se a contribuição de cada variável interna multiplicada pela derivada dessa variável interna.
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia ao nosso caso particular. Definimos
Calculam-se as derivadas parciais de
e
:
Usando as fórmulas do passo anterior, obtemos as primeiras derivadas de
:
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas, aplicando novamente a regra da cadeia às expressões obtidas. Começando por
:
Aplicando a regra da cadeia à derivada de
em relação a
,
Portanto
De modo inteiramente análogo para
:
E
Assim
Passo 5
Agora substituímos
e
na equação da onda para
:
Como
satisfaz
, o fator entre parênteses é zero em todo ponto. Logo
o que mostra que
também satisfaz a equação da onda.
Passo 6
Observações finais úteis para a prova: (i) não foi preciso assumir
; se
então
é constante e satisfaz trivialmente a equação da onda; (ii) é preciso apenas que
seja
(duas derivadas contínuas) para que todos os passos acima façam sentido; (iii) portanto, para qualquer constante real
,
é solução de
.