Questão 7. Mostre as seguintes propriedades de invariância da equação da onda u_{t t}=c^{2} u_{x x}.
(c) A dilatação u(a x, a t) é também uma solução para qualquer constante a.

Passo 1

O enunciado nos dá que u(x,t) é uma função suficientemente suave (pelo menos duas vezes diferenciável em x e t) que satisfaz a equação da onda
u_{t t}=c^{2}u_{x x}.
A tarefa é mostrar que, para qualquer constante a, a função obtida pela dilatação
v(x,t)=u(a x,a t)
também satisfaz a mesma equação da onda, ou seja, que v_{t t}=c^{2}v_{x x}.

Passo 2

Vou recordar e explicar a regra da cadeia para derivadas parciais, porque é a ferramenta que vamos usar. Seja uma função composta
v(x,t)=u\big(X(x,t),\,T(x,t)\big),
onde X e T são funções de x e t. As derivadas parciais de v obedecem à regra da cadeia:
v_x = u_x(X,T)\,X_x + u_t(X,T)\,T_x,
v_t = u_x(X,T)\,X_t + u_t(X,T)\,T_t.
Aqui u_x e u_t significam as derivadas parciais de u em relação ao primeiro e segundo argumento, avaliadas no ponto (X(x,t),T(x,t)). As notações X_x, T_x, X_t, T_t são as derivadas parciais de X e T em relação a x e t. A ideia é: ao derivar u(X(x,t),T(x,t)) em relação a x mantém-se t fixo e soma-se a contribuição de cada variável interna multiplicada pela derivada dessa variável interna.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia ao nosso caso particular. Definimos
X(x,t)=a x,\qquad T(x,t)=a t.
Calculam-se as derivadas parciais de X e T:
X_x = a,\quad X_t = 0,\qquad T_x = 0,\quad T_t = a.
Usando as fórmulas do passo anterior, obtemos as primeiras derivadas de v:
v_x = u_x(a x,a t)\,X_x + u_t(a x,a t)\,T_x = u_x(a x,a t)\,a + u_t(a x,a t)\cdot 0 = a\,u_x(a x,a t),
v_t = u_x(a x,a t)\,X_t + u_t(a x,a t)\,T_t = u_x(a x,a t)\cdot 0 + u_t(a x,a t)\,a = a\,u_t(a x,a t).

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas, aplicando novamente a regra da cadeia às expressões obtidas. Começando por v_{xx}:
v_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\big(a\,u_x(a x,a t)\big)=a\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(u_x(a x,a t)\big).
Aplicando a regra da cadeia à derivada de u_x(a x,a t) em relação a x,
\frac{\partial}{\partial x}\big(u_x(a x,a t)\big)=u_{xx}(a x,a t)\,X_x + u_{x t}(a x,a t)\,T_x = u_{xx}(a x,a t)\,a + u_{x t}(a x,a t)\cdot 0 = a\,u_{xx}(a x,a t).
Portanto
v_{xx} = a\cdot\big(a\,u_{xx}(a x,a t)\big)=a^{2}\,u_{xx}(a x,a t).
De modo inteiramente análogo para v_{tt}:
v_{tt} = \frac{\partial}{\partial t}\big(a\,u_t(a x,a t)\big)=a\cdot\frac{\partial}{\partial t}\big(u_t(a x,a t)\big).
E
\frac{\partial}{\partial t}\big(u_t(a x,a t)\big)=u_{t x}(a x,a t)\,X_t + u_{t t}(a x,a t)\,T_t = u_{t x}(a x,a t)\cdot 0 + u_{t t}(a x,a t)\,a = a\,u_{t t}(a x,a t).
Assim
v_{tt}=a\cdot\big(a\,u_{t t}(a x,a t)\big)=a^{2}\,u_{t t}(a x,a t).

Passo 5

Agora substituímos v_{tt} e v_{xx} na equação da onda para v:
v_{tt}-c^{2}v_{xx}=a^{2}\,u_{t t}(a x,a t)-c^{2}a^{2}\,u_{x x}(a x,a t)=a^{2}\big(u_{t t}-c^{2}u_{x x}\big)(a x,a t).
Como u satisfaz \,u_{t t}-c^{2}u_{x x}=0, o fator entre parênteses é zero em todo ponto. Logo
v_{tt}-c^{2}v_{xx}=a^{2}\cdot 0=0,
o que mostra que v também satisfaz a equação da onda.

Passo 6

Observações finais úteis para a prova: (i) não foi preciso assumir a\neq 0; se a=0 então v(x,t)=u(0,0) é constante e satisfaz trivialmente a equação da onda; (ii) é preciso apenas que u seja C^{2} (duas derivadas contínuas) para que todos os passos acima façam sentido; (iii) portanto, para qualquer constante real a, v(x,t)=u(a x,a t) é solução de \,v_{tt}=c^{2}v_{xx}.

Resposta

v(x,t)=u(a x,a t) satisfaz v_{t t}=c^{2}v_{x x} para qualquer constante a.

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