Questão 7. Mostre as seguintes propriedades de invariância da equação da onda
.
(b) Qualquer derivada de
é solução, se u for.
(b) Qualquer derivada de
Passo 1
O enunciado dá a equação da onda
onde
e
é constante. A pergunta (parte (b)) é: provar que qualquer derivada parcial de
também é solução da mesma equação; isto é, se
satisfaz a equação, então qualquer função obtida aplicando derivadas parciais em
e
sobre
também satisfaz a equação da onda.
Informações relevantes dadas:
- A função
satisfaz . - Deve-se mostrar que qualquer derivada parcial (de ordem arbitrária, inclusive mista) de
satisfaz a mesma equação.
Passo 2
Condição técnica e ideia que será usada (sem ainda provar): para poder trocar a ordem de diferenciação (por exemplo, passar de
para
) é preciso que
seja suficientemente suave. Vamos assumir que
tem derivadas parciais contínuas de ordem alta o suficiente (por exemplo
no domínio considerado). Com isso, vale a propriedade de Clairaut: derivadas mistas são comutativas.
Também usaremos que a operação de derivar é linear e que derivação com respeito a
e
comuta entre si quando as derivadas são contínuas. Essas propriedades permitem aplicar um operador de derivação qualquer sobre a equação e permutar a ordem das derivadas livremente.
Passo 3
Mostrando o caso de uma derivada em
: considere
. Vamos verificar que
satisfaz a equação da onda.
Começamos calculando a segunda derivada temporal de
. Usando que derivação parcial comuta (hipótese de suavidade),
Como
satisfaz a equação da onda, podemos substituir
na expressão acima:
Juntando as igualdades obtemos
ou seja,
é solução da equação da onda.
Passo 4
Mostrando o caso de uma derivada em
: considere
. Procedimento análogo:
Calcule a segunda derivada temporal de
:
Usando a equação
e derivando essa igualdade em
, (novamente trocando a ordem quando necessário)
Logo
ou seja,
também é solução.
Passo 5
Generalização para derivadas de ordem arbitrária (mistas): seja
um operador de diferenciação parcial qualquer do tipo
com
. Defina
. Queremos mostrar que
satisfaz a equação da onda.
Aplique
na equação
. Como
é uma combinação de derivadas parciais e derivação é linear, temos
Pelo fato de que derivadas parciais comutam quando
é suficientemente suave, pode-se trocar a ordem das derivações, o que implica
e
A constante
fatoriza fora da derivada, então da aplicação de
à equação obtemos
Isso prova que
satisfaz a equação da onda.
Passo 6
Interpretação e conclusão didática: a razão pela qual qualquer derivada parcial de
é solução é que a equação da onda é linear com coeficientes constantes e que diferenciação parcial comuta (sob hipóteses de suavidade). Em termos operacionais, o operador linear da equação
comuta com qualquer operador de diferenciação parcial de ordem inteira (pois coeficientes são constantes), então se
então
.
Um exemplo concreto rápido: se
é solução então
e
também são soluções, pois ao aplicar as derivadas sobre a equação a identidade se preserva.
Resposta
Assumindo
suficientemente suave (por exemplo
), qualquer derivada parcial arbitrária
satisfaz
isto é, toda derivada parcial de
é solução da equação da onda.