Questão 7. Mostre as seguintes propriedades de invariância da equação da onda u_{t t}=c^{2} u_{x x}.
(b) Qualquer derivada de u(x, t) é solução, se u for.

Passo 1

O enunciado dá a equação da onda
u_{t t}=c^{2}u_{x x},
onde u=u(x,t) e c é constante. A pergunta (parte (b)) é: provar que qualquer derivada parcial de u(x,t) também é solução da mesma equação; isto é, se u satisfaz a equação, então qualquer função obtida aplicando derivadas parciais em x e t sobre u também satisfaz a equação da onda.
Informações relevantes dadas:
  • A função u(x,t) satisfaz \;u_{t t}=c^{2}u_{x x}.
  • Deve-se mostrar que qualquer derivada parcial (de ordem arbitrária, inclusive mista) de u satisfaz a mesma equação.

Passo 2

Condição técnica e ideia que será usada (sem ainda provar): para poder trocar a ordem de diferenciação (por exemplo, passar de u_{x t t} para u_{t t x}) é preciso que u seja suficientemente suave. Vamos assumir que u tem derivadas parciais contínuas de ordem alta o suficiente (por exemplo u\in C^{4} no domínio considerado). Com isso, vale a propriedade de Clairaut: derivadas mistas são comutativas.
Também usaremos que a operação de derivar é linear e que derivação com respeito a x e t comuta entre si quando as derivadas são contínuas. Essas propriedades permitem aplicar um operador de derivação qualquer sobre a equação e permutar a ordem das derivadas livremente.

Passo 3

Mostrando o caso de uma derivada em x: considere v(x,t)=u_{x}(x,t). Vamos verificar que v satisfaz a equação da onda.
Começamos calculando a segunda derivada temporal de v. Usando que derivação parcial comuta (hipótese de suavidade),
(v)_{t t}=(u_{x})_{t t}=u_{x t t}=u_{t t x}.
Como u satisfaz a equação da onda, podemos substituir u_{t t}=c^{2}u_{x x} na expressão acima:
u_{t t x}=(c^{2}u_{x x})_{x}=c^{2}u_{x x x}=c^{2}(u_{x})_{x x}=c^{2}v_{x x}.
Juntando as igualdades obtemos
v_{t t}=c^{2}v_{x x},
ou seja, u_{x} é solução da equação da onda.

Passo 4

Mostrando o caso de uma derivada em t: considere w(x,t)=u_{t}(x,t). Procedimento análogo:
Calcule a segunda derivada temporal de w:
(w)_{t t}=(u_{t})_{t t}=u_{t t t}=u_{t t t}.
Usando a equação u_{t t}=c^{2}u_{x x} e derivando essa igualdade em t, (novamente trocando a ordem quando necessário)
u_{t t t}=(c^{2}u_{x x})_{t}=c^{2}u_{x x t}=c^{2}u_{t x x}=c^{2}(u_{t})_{x x}=c^{2}w_{x x}.
Logo
w_{t t}=c^{2}w_{x x},
ou seja, u_{t} também é solução.

Passo 5

Generalização para derivadas de ordem arbitrária (mistas): seja D um operador de diferenciação parcial qualquer do tipo
D=\frac{\partial^{m+n}}{\partial x^{m}\partial t^{n}}
com m,n\ge0. Defina v=D u. Queremos mostrar que v satisfaz a equação da onda.
Aplique D na equação u_{t t}=c^{2}u_{x x}. Como D é uma combinação de derivadas parciais e derivação é linear, temos
D(u_{t t})=D(c^{2}u_{x x}).
Pelo fato de que derivadas parciais comutam quando u é suficientemente suave, pode-se trocar a ordem das derivações, o que implica
D(u_{t t})=(D u)_{t t}=v_{t t}
e
D(u_{x x})=(D u)_{x x}=v_{x x}.
A constante c^{2} fatoriza fora da derivada, então da aplicação de D à equação obtemos
v_{t t}=c^{2}v_{x x}.
Isso prova que v=D u satisfaz a equação da onda.

Passo 6

Interpretação e conclusão didática: a razão pela qual qualquer derivada parcial de u é solução é que a equação da onda é linear com coeficientes constantes e que diferenciação parcial comuta (sob hipóteses de suavidade). Em termos operacionais, o operador linear da equação
L:=\partial_{t}^{2}-c^{2}\partial_{x}^{2}
comuta com qualquer operador de diferenciação parcial de ordem inteira (pois coeficientes são constantes), então se L[u]=0 então L[\partial^{\alpha}u]=\partial^{\alpha}(L[u])=0.
Um exemplo concreto rápido: se u é solução então u_{xx} e u_{ttx} também são soluções, pois ao aplicar as derivadas sobre a equação a identidade se preserva.

Resposta

Assumindo u suficientemente suave (por exemplo u\in C^{4}), qualquer derivada parcial arbitrária v=\dfrac{\partial^{m+n}u}{\partial x^{m}\partial t^{n}} satisfaz
v_{t t}=c^{2}v_{x x},
isto é, toda derivada parcial de u é solução da equação da onda.

Exercícios relacionados