Questão 9. Seja
uma solução para a eq. da onda
com
densidade de energia é definida por:
. A densidade de momento é definida por:
.
- Mostre que
e
- Mostre que
e
satisfazem a equação da onda.
Passo 1
Lista do que o enunciado dá e pede (tudo que vem do enunciado, sem resolver ainda):
- Função
é solução da equação da onda com :
- Definições dadas:
- O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que
e . - Mostrar que
e satisfazem a equação da onda (ou seja, e ).
- Mostrar que
Observação sobre hipóteses técnicas (implícitas): assume-se que
é suficientemente suave para justificar diferenciações e troca de derivadas parciais (por exemplo
ou melhor).
Passo 2
Calcular
passo a passo explicando as regras usadas.
Primeiro escrever
como soma de duas metades-quadráticas:
Aplicar a regra da cadeia (derivada de
é
) a cada termo quando derivamos em relação a
. Assim:
Explicando: o termo
deriva para
; o termo
depende de
apenas via
, então sua derivada é
. Também usamos que
e
são diferenciais parciais com notação óbvia.
Passo 3
Calcular
passo a passo.
Temos
. Aplicando a regra do produto para derivar em relação a
(derivada de
é
):
Explicando:
e
.
Passo 4
Comparar
e
e usar a equação da onda.
Das expressões obtidas:
Agora usar duas observações:
- Troca de derivadas mistas:
(suavidade da solução). - A equação da onda com
dá .
Substituindo
em
e trocando
por
, obtemos
que é exatamente a mesma expressão que
. Portanto
Passo 5
Calcular
e
passo a passo.
Derivando
em relação a
(regra do produto):
Derivando
em relação a
(regra da cadeia):
Passo 6
Comparar
e
e usar a equação da onda.
Das expressões:
Usando
e a equação da onda
, substitui-se
por
em
para obter
que coincide com
. Portanto
Passo 7
Mostrar que
satisfaz a equação da onda usando as igualdades já provadas (método curto e elegante).
Partir de
. Derivar essa igualdade em relação a
:
Aqui foi usada a comutatividade das derivadas parciais (
) e a igualdade
do Passo 6. Assim
ou seja,
satisfaz a equação da onda.
Passo 8
Mostrar que
satisfaz a equação da onda pelo mesmo raciocínio (simetria).
Partir de
. Derivar em relação a
e usar a relação
:
Portanto
ou seja,
também satisfaz a equação da onda.
Passo 9
Comentário final rápido (didático e encorajador).
- As identidades
e são expressões locais de conservação e acoplamento entre energia e momento da onda; elas seguem apenas da regra do produto/da cadeia e da equação da onda . - A dedução de que
e satisfazem a equação da onda usa a simetria das derivadas parciais e é um truque comum: a relação entre temporal e espacial permite trocar derivadas e obter (e análogo para ).
Força aí — com esses passos está tudo justificado e qualquer manipulação extra é apenas repetir as diferenciações já feitas.