Questão 9. Seja u(x, t) uma solução para a eq. da onda u_{t t}-c^{2} u_{x x}=0 com c=1 . \quad A densidade de energia é definida por: E(x, t)=\frac{1}{2}\left(u_{t}^{2}+u_{x}^{2}\right). A densidade de momento é definida por: p(x, t)=u_{t} u_{x}.
  • Mostre que \frac{\partial E}{\partial t}=\frac{\partial p}{\partial x} e \frac{\partial p}{\partial t}=\frac{\partial E}{\partial x}
  • Mostre que E e p satisfazem a equação da onda.

Passo 1

Lista do que o enunciado dá e pede (tudo que vem do enunciado, sem resolver ainda):
  • Função u(x,t) é solução da equação da onda com c=1:
u_{t t}-u_{x x}=0.
  • Definições dadas:
E(x,t)=\tfrac{1}{2}\big(u_{t}^{2}+u_{x}^{2}\big), \qquad p(x,t)=u_{t}\,u_{x}.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Mostrar que \dfrac{\partial E}{\partial t}=\dfrac{\partial p}{\partial x} e \dfrac{\partial p}{\partial t}=\dfrac{\partial E}{\partial x}.
    2. Mostrar que E e p satisfazem a equação da onda (ou seja, \,E_{tt}-E_{xx}=0 e p_{tt}-p_{xx}=0).
Observação sobre hipóteses técnicas (implícitas): assume-se que u é suficientemente suave para justificar diferenciações e troca de derivadas parciais (por exemplo u\in C^{3} ou melhor).

Passo 2

Calcular \dfrac{\partial E}{\partial t} passo a passo explicando as regras usadas.
Primeiro escrever E como soma de duas metades-quadráticas:
E=\tfrac{1}{2}u_t^2+\tfrac{1}{2}u_x^2.
Aplicar a regra da cadeia (derivada de v^2/2 é v\,v') a cada termo quando derivamos em relação a t. Assim:
\frac{\partial E}{\partial t} = u_t\,u_{tt} + u_x\,u_{xt}.
Explicando: o termo u_t^2/2 deriva para u_t\cdot u_{tt}; o termo u_x^2/2 depende de t apenas via u_x(x,t), então sua derivada é u_x\cdot \partial_t(u_x)=u_x u_{xt}. Também usamos que \partial_t e \partial_x são diferenciais parciais com notação óbvia.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial p}{\partial x} passo a passo.
Temos p=u_t u_x. Aplicando a regra do produto para derivar em relação a x (derivada de fg é f_x g + f g_x):
\frac{\partial p}{\partial x} = u_{tx}\,u_x + u_t\,u_{xx}.
Explicando: \partial_x(u_t)=u_{tx} e \partial_x(u_x)=u_{xx}.

Passo 4

Comparar \partial_t E e \partial_x p e usar a equação da onda.
Das expressões obtidas:
\frac{\partial E}{\partial t}=u_t\,u_{tt}+u_x\,u_{xt}, \qquad \frac{\partial p}{\partial x}=u_{tx}\,u_x+u_t\,u_{xx}.
Agora usar duas observações:
  • Troca de derivadas mistas: u_{xt}=u_{tx} (suavidade da solução).
  • A equação da onda com c=1 u_{tt}=u_{xx}.
Substituindo u_{tt}=u_{xx} em \partial_t E e trocando u_{xt} por u_{tx}, obtemos
\frac{\partial E}{\partial t}=u_t\,u_{xx}+u_x\,u_{tx},
que é exatamente a mesma expressão que \partial_x p. Portanto
\boxed{\frac{\partial E}{\partial t}=\frac{\partial p}{\partial x}.}

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial p}{\partial t} e \dfrac{\partial E}{\partial x} passo a passo.
Derivando p=u_t u_x em relação a t (regra do produto):
\frac{\partial p}{\partial t}=u_{tt}\,u_x + u_t\,u_{xt}.
Derivando E=\tfrac12(u_t^2+u_x^2) em relação a x (regra da cadeia):
\frac{\partial E}{\partial x}=u_t\,u_{tx} + u_x\,u_{xx}.

Passo 6

Comparar \partial_t p e \partial_x E e usar a equação da onda.
Das expressões:
\frac{\partial p}{\partial t}=u_{tt}\,u_x + u_t\,u_{xt}, \qquad \frac{\partial E}{\partial x}=u_t\,u_{tx} + u_x\,u_{xx}.
Usando u_{xt}=u_{tx} e a equação da onda u_{tt}=u_{xx}, substitui-se u_{tt} por u_{xx} em \partial_t p para obter
\frac{\partial p}{\partial t}=u_{xx}\,u_x + u_t\,u_{tx},
que coincide com \partial_x E. Portanto
\boxed{\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{\partial E}{\partial x}.}

Passo 7

Mostrar que E satisfaz a equação da onda usando as igualdades já provadas (método curto e elegante).
Partir de \frac{\partial E}{\partial t}=\frac{\partial p}{\partial x}. Derivar essa igualdade em relação a t:
E_{tt} = \partial_t(\partial_x p) = \partial_x(\partial_t p) = \partial_x(E_x) = E_{xx}.
Aqui foi usada a comutatividade das derivadas parciais ( \partial_t\partial_x=\partial_x\partial_t) e a igualdade \partial_t p= \partial_x E do Passo 6. Assim
\boxed{E_{tt}-E_{xx}=0},
ou seja, E satisfaz a equação da onda.

Passo 8

Mostrar que p satisfaz a equação da onda pelo mesmo raciocínio (simetria).
Partir de \frac{\partial p}{\partial t}=\frac{\partial E}{\partial x}. Derivar em relação a t e usar a relação \partial_t E=\partial_x p:
p_{tt}=\partial_t(\partial_x E)=\partial_x(\partial_t E)=\partial_x(\partial_x p)=p_{xx}.
Portanto
\boxed{p_{tt}-p_{xx}=0},
ou seja, p também satisfaz a equação da onda.

Passo 9

Comentário final rápido (didático e encorajador).
  • As identidades \partial_t E=\partial_x p e \partial_t p=\partial_x E são expressões locais de conservação e acoplamento entre energia e momento da onda; elas seguem apenas da regra do produto/da cadeia e da equação da onda u_{tt}=u_{xx}.
  • A dedução de que E e p satisfazem a equação da onda usa a simetria das derivadas parciais e é um truque comum: a relação entre temporal e espacial permite trocar derivadas e obter E_{tt}=E_{xx} (e análogo para p).
Força aí — com esses passos está tudo justificado e qualquer manipulação extra é apenas repetir as diferenciações já feitas.

Resposta

\dfrac{\partial E}{\partial t}=\dfrac{\partial p}{\partial x} e \dfrac{\partial p}{\partial t}=\dfrac{\partial E}{\partial x}.
E_{tt}-E_{xx}=0 e p_{tt}-p_{xx}=0.

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