Questão 7. Considere a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}. (a) Use o Teste da Integral para mostrar que a série converge. (b) Calcule \mathrm{S}_{4} (soma dos 4 primeiros termos). (c) Determine um limitante superior para o erro \left|S-S_{4}\right|.

Passo 1

O enunciado dá a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}} e pede três coisas:
  • (a) Usar o Teste da Integral para mostrar que a série converge.
  • (b) Calcular S_{4}, ou seja, a soma dos quatro primeiros termos \displaystyle S_{4}=\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{n^{4}}.
  • (c) Determinar um limitante superior para o erro \left|S-S_{4}\right|, onde S é a soma total da série.
Informações relevantes fornecidas: os termos gerais são positivos e iguais a \dfrac{1}{n^{4}} para n=1,2,\dots.

Passo 2

Entendendo o que é necessário no item (a) — ideia do método que vamos usar (explicação didática do teste da integral).
  • O Teste da Integral diz o seguinte (versão prática que usaremos): se f:(1,\infty)\to\mathbb{R} é uma função positiva, contínua e decrescente para x\ge1 e a_n=f(n), então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge.
  • Intuitivamente: a soma dos retângulos de largura 1 e altura f(n) fica “entre” áreas dadas por integrais; se a área total (a integral) for finita, a soma também será finita.
  • No nosso caso escolhemos f(x)=\dfrac{1}{x^{4}}. Preciso verificar que f é positiva, contínua e decrescente para x\ge1. Essas propriedades são óbvias: para x>0, x^{4}>0 então f(x)>0; f é composta de potências e é contínua; e f'(x)=-4x^{-5}<0 para x>0, logo é decrescente.

Passo 3

Aplicando o teste da integral: calcular a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{4}}\,dx.
  • Primeiro escrevo a primitiva de x^{-4}. Para \alpha\neq -1 vale \displaystyle\int x^{\alpha}\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C. Aqui \alpha=-4, então
\int x^{-4}\,dx=\frac{x^{-3}}{-3}+C=-\frac{1}{3x^{3}}+C.
  • A integral imprópria é
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{4}}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x^{4}}\,dx =\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{3x^{3}}\right]_{1}^{b} =\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{3b^{3}}+\frac{1}{3\cdot 1^{3}}\right).
  • Como \displaystyle\lim_{b\to\infty}\frac{1}{b^{3}}=0, obtemos
\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{4}}\,dx=\frac{1}{3}.
  • Conclusão do item (a): a integral converge (vale \tfrac{1}{3}); portanto, pelo Teste da Integral, a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}} também converge.

Passo 4

Agora o item (b): calcular S_{4}=\displaystyle\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{n^{4}}=\frac{1}{1^{4}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{3^{4}}+\frac{1}{4^{4}}.
  • Vamos escrever cada termo:
\frac{1}{1^{4}}=1,\qquad \frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16},\qquad \frac{1}{3^{4}}=\frac{1}{81},\qquad \frac{1}{4^{4}}=\frac{1}{256}.
  • Para apresentar exatamente, somamos como frações com denominador comum \mathrm{lcm}(1,16,81,256). Observando as fatorações: 16=2^{4}, 256=2^{8}, 81=3^{4}, então \mathrm{lcm}=2^{8}\cdot 3^{4}=256\cdot 81=20736.
  • Reescrevendo cada termo com denominador 20736:
1=\frac{20736}{20736},\quad \frac{1}{16}=\frac{1296}{20736},\quad \frac{1}{81}=\frac{256}{20736},\quad \frac{1}{256}=\frac{81}{20736}.
  • Somando numeradores:
20736+1296+256+81=22369.
  • Logo
S_{4}=\frac{22369}{20736}.
  • Podemos também dar a aproximação decimal (útil na prova para conferir ordens de grandeza):
S_{4}=\frac{22369}{20736}\approx 1,078751929\ldots

Passo 5

Item (c): determinar um limitante superior para o erro R_{4}=\left|S-S_{4}\right|=\sum_{n=5}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}.
  • Para funções positivas, contínuas e decrescentes f com a_n=f(n), há a estimativa de resto (que vem do mesmo raciocínio geométrico do Teste da Integral):
\int_{N+1}^{\infty} f(x)\,dx \le \sum_{n=N+1}^{\infty} f(n) \le \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx.
  • Aplicando com f(x)=x^{-4} e N=4, obtemos
\int_{5}^{\infty}\frac{1}{x^{4}}\,dx \le R_{4} \le \int_{4}^{\infty}\frac{1}{x^{4}}\,dx.
  • Já calculámos a integral geral: \displaystyle\int_{a}^{\infty}\frac{1}{x^{4}}\,dx=\frac{1}{3a^{3}}. Assim:
\int_{4}^{\infty}\frac{1}{x^{4}}\,dx=\frac{1}{3\cdot 4^{3}}=\frac{1}{3\cdot 64}=\frac{1}{192}.
  • Portanto um limitante superior para o erro é
\left|S-S_{4}\right|=R_{4}\le\frac{1}{192}\approx 0,005208333\ldots
  • (Se quiser um limite inferior também, tem \displaystyle R_{4}\ge\int_{5}^{\infty}\frac{1}{x^{4}}\,dx=\frac{1}{3\cdot 5^{3}}=\frac{1}{375}\approx 0,002666, mas o enunciado pediu apenas um limitante superior.)

Resposta

(a) A série converge (pelo Teste da Integral).
(b) S_{4}=\dfrac{22369}{20736}\approx 1,078751929.
(c) \left|S-S_{4}\right|\le\dfrac{1}{192}\approx 0,005208333.

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