Questão 7. Considere a série
. (a) Use o Teste da Integral para mostrar que a série converge. (b) Calcule
(soma dos 4 primeiros termos). (c) Determine um limitante superior para o erro
.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede três coisas:
- (a) Usar o Teste da Integral para mostrar que a série converge.
- (b) Calcular
, ou seja, a soma dos quatro primeiros termos . - (c) Determinar um limitante superior para o erro
, onde é a soma total da série.
Informações relevantes fornecidas: os termos gerais são positivos e iguais a
para
.
Passo 2
Entendendo o que é necessário no item (a) — ideia do método que vamos usar (explicação didática do teste da integral).
- O Teste da Integral diz o seguinte (versão prática que usaremos): se
é uma função positiva, contínua e decrescente para e , então a série converge se, e somente se, a integral imprópria converge. - Intuitivamente: a soma dos retângulos de largura 1 e altura
fica “entre” áreas dadas por integrais; se a área total (a integral) for finita, a soma também será finita. - No nosso caso escolhemos
. Preciso verificar que é positiva, contínua e decrescente para . Essas propriedades são óbvias: para , então ; é composta de potências e é contínua; e para , logo é decrescente.
Passo 3
Aplicando o teste da integral: calcular a integral imprópria
.
- Primeiro escrevo a primitiva de
. Para vale . Aqui , então
- A integral imprópria é
- Como
, obtemos
- Conclusão do item (a): a integral converge (vale
); portanto, pelo Teste da Integral, a série também converge.
Passo 4
Agora o item (b): calcular
.
- Vamos escrever cada termo:
- Para apresentar exatamente, somamos como frações com denominador comum
. Observando as fatorações: , , , então . - Reescrevendo cada termo com denominador
:
- Somando numeradores:
- Logo
- Podemos também dar a aproximação decimal (útil na prova para conferir ordens de grandeza):
Passo 5
Item (c): determinar um limitante superior para o erro
.
- Para funções positivas, contínuas e decrescentes
com , há a estimativa de resto (que vem do mesmo raciocínio geométrico do Teste da Integral):
- Aplicando com
e , obtemos
- Já calculámos a integral geral:
. Assim:
- Portanto um limitante superior para o erro é
- (Se quiser um limite inferior também, tem
, mas o enunciado pediu apenas um limitante superior.)
Resposta
(a) A série converge (pelo Teste da Integral).
(b) .
(c) .
(b)
(c)