Questão 3: Notação: M=\left[R_{1} ; R_{2} ; \ldots\right] denota uma matriz de linhas R_{1}, R_{2}, \ldots. Seja A=[1,1,1 ; 2,3,4 ; 5,8,9]. Encontre \operatorname{adj}(A), e, encontre A^{-1}, usando \operatorname{adj}(A).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[1,1,1 ; 2,3,4 ; 5,8,9\right]
e pede duas coisas:
  • Encontrar \operatorname{adj}(A) (a matriz adjunta/adjugata de A).
  • Usar \operatorname{adj}(A) para encontrar A^{-1}.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz A é 3\times3 com entradas listadas acima.
  • A notação usada para matriz é [R_1;R_2;R_3] onde cada R_i é uma linha.

Passo 2

O que é preciso saber (mini-aula prática, sem pular etapas):
  • A adjugata (ou adjunta) de uma matriz A, denotada \operatorname{adj}(A), é a transposta da matriz de cofatores de A. Em símbolos: \operatorname{adj}(A)=\big(\operatorname{cof}(A)\big)^{T}.
  • O cofator C_{ij} de um elemento a_{ij} é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},onde M_{ij} é o menor de ordem 2 obtido ao eliminar a linha i e a coluna j de A. Ou seja, M_{ij} é um determinante 2\times2.
  • A inversa de A (quando existe) pode ser obtida por A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).Logo precisamos calcular \det(A) e a matriz de cofatores.
  • Para um determinante 3\times3 com primeira linha (a,b,c), pode-se usar a expansão por cofactores na primeira linha: \det(A)=a\det\!\begin{bmatrix}*\!&*\!\\*\!&*\end{bmatrix} - b\det\!\begin{bmatrix}*\!&*\!\\*\!&*\end{bmatrix} + c\det\!\begin{bmatrix}*\!&*\!\\*\!&*\end{bmatrix}.Aqui cada \det[\cdot] é um determinante 2\times2: para \begin{bmatrix}p&q\\\ r&s\end{bmatrix}, \det=ps-qr.

Passo 3

Calcular \det(A) explicitamente (expansão pela primeira linha).
A primeira linha de A é (1,1,1). Então
\det(A)=1\cdot\det\!\begin{bmatrix}3 & 4 \\[2pt] 8 & 9\end{bmatrix} -1\cdot\det\!\begin{bmatrix}2 & 4 \\[2pt] 5 & 9\end{bmatrix} +1\cdot\det\!\begin{bmatrix}2 & 3 \\[2pt] 5 & 8\end{bmatrix}.
Calcule cada determinante 2\times2:
\det\!\begin{bmatrix}3 & 4 \\[2pt] 8 & 9\end{bmatrix}=3\cdot9-4\cdot8=27-32=-5,
\det\!\begin{bmatrix}2 & 4 \\[2pt] 5 & 9\end{bmatrix}=2\cdot9-4\cdot5=18-20=-2,
\det\!\begin{bmatrix}2 & 3 \\[2pt] 5 & 8\end{bmatrix}=2\cdot8-3\cdot5=16-15=1.
Substituindo,
\det(A)=1\cdot(-5)-1\cdot(-2)+1\cdot1=-5+2+1=-2.
Portanto \det(A)=-2. Como \det(A)\neq0, A é invertível e podemos usar a fórmula com \operatorname{adj}(A).]

Passo 4

Calcular todos os menores M_{ij} e cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}. Vou fazer linha a linha, mostrando o menor 2\times2, seu determinante e o sinal.
Linha 1:
  • M_{11}=\det\!\begin{bmatrix}3 & 4 \\[2pt] 8 & 9\end{bmatrix}=-5. O cofator C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+1\cdot(-5)=-5.
  • M_{12}=\det\!\begin{bmatrix}2 & 4 \\[2pt] 5 & 9\end{bmatrix}=-2. O cofator C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot(-2)=2.
  • M_{13}=\det\!\begin{bmatrix}2 & 3 \\[2pt] 5 & 8\end{bmatrix}=1. O cofator C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+1\cdot1=1.
Linha 2:
  • M_{21}=\det\!\begin{bmatrix}1 & 1 \\[2pt] 8 & 9\end{bmatrix}=1\cdot9-1\cdot8=1. O cofator C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot1=-1.
  • M_{22}=\det\!\begin{bmatrix}1 & 1 \\[2pt] 5 & 9\end{bmatrix}=1\cdot9-1\cdot5=4. O cofator C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+1\cdot4=4.
  • M_{23}=\det\!\begin{bmatrix}1 & 1 \\[2pt] 5 & 8\end{bmatrix}=1\cdot8-1\cdot5=3. O cofator C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-1\cdot3=-3.
Linha 3:
  • M_{31}=\det\!\begin{bmatrix}1 & 1 \\[2pt] 3 & 4\end{bmatrix}=1\cdot4-1\cdot3=1. O cofator C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+1\cdot1=1.
  • M_{32}=\det\!\begin{bmatrix}1 & 1 \\[2pt] 2 & 4\end{bmatrix}=1\cdot4-1\cdot2=2. O cofator C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\cdot2=-2.
  • M_{33}=\det\!\begin{bmatrix}1 & 1 \\[2pt] 2 & 3\end{bmatrix}=1\cdot3-1\cdot2=1. O cofator C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=+1\cdot1=1.]

Passo 5

Escrevendo a matriz dos cofatores (cada C_{ij} na posição ij):
\operatorname{cof}(A)=\left[-5,\,2,\,1 ;\; -1,\,4,\,-3 ;\; 1,\,-2,\,1\right].

Passo 6

A adjugata é a transposta da matriz de cofatores:
\operatorname{adj}(A)=\operatorname{cof}(A)^{T} =\left[-5,\,-1,\,1 ;\; 2,\,4,\,-2 ;\; 1,\,-3,\,1\right].

Passo 7

Calcular A^{-1} usando \;A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).
Sabendo \det(A)=-2, temos o fator \dfrac{1}{\det(A)}=-\tfrac{1}{2}. Multiplicando cada entrada de \operatorname{adj}(A) por -\tfrac{1}{2}:
  • Primeira linha: -\tfrac{1}{2}\cdot(-5)=\tfrac{5}{2}, -\tfrac{1}{2}\cdot(-1)=\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}\cdot1=-\tfrac{1}{2}.
  • Segunda linha: -\tfrac{1}{2}\cdot2=-1, -\tfrac{1}{2}\cdot4=-2, -\tfrac{1}{2}\cdot(-2)=1.
  • Terceira linha: -\tfrac{1}{2}\cdot1=-\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}\cdot(-3)=\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}\cdot1=-\tfrac{1}{2}.
Portanto
A^{-1}=\left[\tfrac{5}{2},\,\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{2} ;\; -1,\,-2,\,1 ;\; -\tfrac{1}{2},\,\tfrac{3}{2},\,-\tfrac{1}{2}\right].

Resposta

\operatorname{adj}(A)=\left[-5,\,-1,\,1 ;\; 2,\,4,\,-2 ;\; 1,\,-3,\,1\right]
\displaystyle A^{-1}=\left[\tfrac{5}{2},\,\tfrac{1}{2},\,-\tfrac{1}{2} ;\; -1,\,-2,\,1 ;\; -\tfrac{1}{2},\,\tfrac{3}{2},\,-\tfrac{1}{2}\right]

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