Questão 3: Notação:
denota uma matriz de linhas
,
. Seja
. Encontre
, e, encontre
, usando
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede duas coisas:
- Encontrar
(a matriz adjunta/adjugata de ). - Usar
para encontrar .
Informações relevantes dadas:
- A matriz
é com entradas listadas acima. - A notação usada para matriz é
onde cada é uma linha.
Passo 2
O que é preciso saber (mini-aula prática, sem pular etapas):
- A adjugata (ou adjunta) de uma matriz
, denotada , é a transposta da matriz de cofatores de . Em símbolos: - O cofator
de um elemento é onde é o menor de ordem 2 obtido ao eliminar a linha e a coluna de . Ou seja, é um determinante . - A inversa de
(quando existe) pode ser obtida por Logo precisamos calcular e a matriz de cofatores. - Para um determinante
com primeira linha , pode-se usar a expansão por cofactores na primeira linha: Aqui cada é um determinante : para , .
Passo 3
Calcular
explicitamente (expansão pela primeira linha).
A primeira linha de é
. Então
A primeira linha de
Calcule cada determinante
:
Substituindo,
Portanto
. Como
,
é invertível e podemos usar a fórmula com
.]
Passo 4
Calcular todos os menores
e cofatores
. Vou fazer linha a linha, mostrando o menor
, seu determinante e o sinal.
Linha 1:
-
. O cofator -
. O cofator -
. O cofator
Linha 2:
-
. O cofator -
. O cofator -
. O cofator
Linha 3:
-
. O cofator -
. O cofator -
. O cofator ]
Passo 5
Escrevendo a matriz dos cofatores (cada
na posição
):
Passo 6
A adjugata é a transposta da matriz de cofatores:
Passo 7
Calcular
usando
.
Sabendo , temos o fator
. Multiplicando cada entrada de
por
:
Sabendo
- Primeira linha:
, , . - Segunda linha:
, , . - Terceira linha:
, , .
Portanto