Considere a equação linear a x=b, onde a e b são constantes. Verifique que se a \neq 0 então x=b / a é a solução. Resolva, usando eliminação gaussiana, o seguinte sistema de equações: 3 x-2 y+3 z=11; x+2 y-4 z=-4; 2 x+5 y-9 z=-10.

Passo 1

O enunciado dá duas tarefas distintas:
  • Verificar a equação linear a x = b\) (com \(a\) e \(b\) constantes) e mostrar que, se \(a \neq 0\), então \(x = b/a\) é a solução. - Resolver, usando eliminação gaussiana, o sistema \[\begin{cases} 3x - 2y + 3z = 11,\\[4pt] x + 2y - 4z = -4,\\[4pt] 2x + 5y - 9z = -10. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • Na primeira parte, é dada a equação simples a x = b\] e a condição \(a \neq 0.
  • Na segunda parte, temos três equações lineares em três incógnitas x,y,z (listadas acima).
  • O método exigido para o sistema é a eliminação gaussiana (transformar o sistema em uma forma triangular e aplicar substituição para achar as incógnitas).]

Passo 2

Verificação da solução da equação a x = b quando a \neq 0.
Partimos de
a x = b.
Como a \neq 0, existe o número a^{-1}=\dfrac{1}{a} (o inverso multiplicativo de a). Multiplicando os dois lados da igualdade por a^{-1} obtemos
a^{-1}\,(a x) = a^{-1}\,b.
Pela associatividade e pela definição de inverso multiplicativo, a^{-1}a = 1, então o lado esquerdo fica 1\cdot x = x. Logo
x = a^{-1} b = \frac{b}{a}.
Portanto, quando a \neq 0, x = \dfrac{b}{a} é a solução da equação a x = b.
Explicação didática curta: só é permitido dividir (ou multiplicar por a^{-1}) porque a é não nulo; se a=0 a operação não seria válida e a equação teria outro comportamento (ou nenhuma ou infinitas soluções dependendo de b).

Passo 3

Introdução rápida e concreta à eliminação gaussiana (para lembrar como proceder).
  • Objetivo: transformar o sistema numa forma triangular superior (onde as equações exijam primeiro x, depois y, depois z), usando operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra). Essas operações preservam o conjunto de soluções.
  • Depois de obter a forma triangular, usa-se substituição regressiva (back-substitution) para encontrar z, depois y, depois x.
Agora aplicamos isso ao sistema dado.

Passo 4

Escrever o sistema na forma de matriz aumentada (linha por linha: coeficientes de x,y,z e a coluna dos termos independentes). A matriz aumentada é
\left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 3 & 11\\[4pt] 1 & 2 & -4 & -4\\[4pt] 2 & 5 & -9 & -10 \end{array}\right).]

Passo 5

Facilitar os cálculos escolhendo um pivô com 1 como primeiro elemento: trocar a primeira linha com a segunda (operação R_1 \leftrightarrow R_2). Isso é permitido e torna as contas mais simples.
Após a troca,
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -4 & -4\\[4pt] 3 & -2 & 3 & 11\\[4pt] 2 & 5 & -9 & -10 \end{array}\right).]

Passo 6

Eliminar a variável x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1:
    Calcule coeficientes e termo independente:
    \begin{aligned} &3 - 3\cdot 1 = 0,\\\ &-2 - 3\cdot 2 = -2 - 6 = -8,\\\ &3 - 3\cdot (-4) = 3 + 12 = 15,\\\ &11 - 3\cdot (-4) = 11 + 12 = 23. \end{aligned}
    Logo a nova segunda linha é (0,\,-8,\,15 \mid 23).
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1:
    \begin{aligned} &2 - 2\cdot 1 = 0,\\\ &5 - 2\cdot 2 = 5 - 4 = 1,\\\ &-9 - 2\cdot (-4) = -9 + 8 = -1,\\\ &-10 - 2\cdot (-4) = -10 + 8 = -2. \end{aligned}
    Nova terceira linha: (0,\,1,\,-1 \mid -2).
A matriz passa a ser
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -4 & -4\\[4pt] 0 & -8 & 15 & 23\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -2 \end{array}\right).]

Passo 7

Escolher um pivô simples para a segunda coluna: trocar R_2 e R_3 para colocar o 1 (em vez de -8) como pivô da segunda linha. Operação R_2 \leftrightarrow R_3.
Após a troca:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -4 & -4\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & -8 & 15 & 23 \end{array}\right).]

Passo 8

Eliminar a entrada da segunda coluna nas outras linhas usando R_2 como pivô:
  • Para eliminar o 2 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
    Calcule:
    \begin{aligned} &1 - 2\cdot 0 = 1,\\\ &2 - 2\cdot 1 = 0,\\\ &-4 - 2\cdot (-1) = -4 + 2 = -2,\\\ &-4 - 2\cdot (-2) = -4 + 4 = 0. \end{aligned}
    Nova R_1: (1,\,0,\,-2 \mid 0).
  • Para eliminar o -8 em R_3: R_3 \leftarrow R_3 + 8R_2.
    Calcule:
    \begin{aligned} &0 + 8\cdot 0 = 0,\\\ &-8 + 8\cdot 1 = 0,\\\ &15 + 8\cdot (-1) = 15 - 8 = 7,\\\ &23 + 8\cdot (-2) = 23 - 16 = 7. \end{aligned}
    Nova R_3: (0,\,0,\,7 \mid 7).
Agora a matriz está em forma triangular superior:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 7 & 7 \end{array}\right).]

Passo 9

Resolver a partir da última equação (substituição regressiva).
Da terceira linha temos
7z = 7.
Dividindo ambos os lados por 7 (que é diferente de zero) obtemos
z = \frac{7}{7} = 1.

Passo 10

Voltar para a segunda linha para achar y. A segunda linha diz
1\cdot y - 1\cdot z = -2,
ou seja
y - z = -2.
Substituindo z = 1,
y - 1 = -2 \quad\Rightarrow\quad y = -2 + 1 = -1.

Passo 11

Finalmente, usar a primeira linha para x. A primeira linha dá
1\cdot x + 0\cdot y - 2\cdot z = 0,
ou seja
x - 2z = 0.
Substituindo z = 1,
x - 2\cdot 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2.

Passo 12

Verificação rápida (substituir (x,y,z)=(2,-1,1) nas equações originais para garantir que está correto):
  • Primeira equação: 3x - 2y + 3z = 3\cdot 2 - 2\cdot(-1) + 3\cdot 1 = 6 + 2 + 3 = 11 (confere).
  • Segunda equação: x + 2y - 4z = 2 + 2\cdot(-1) - 4\cdot 1 = 2 - 2 - 4 = -4 (confere).
  • Terceira equação: 2x + 5y - 9z = 2\cdot 2 + 5\cdot(-1) - 9\cdot 1 = 4 - 5 - 9 = -10 (confere).
Tudo bate, então a solução está correta.

Resposta

x=\dfrac{b}{a} (quando a\neq 0)
(x,y,z)=(2,\,-1,\,1)

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