Questão 8 . Para que números a, b, c o sistema
\left[\begin{array}{rrr} 3 & -1 & 2 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & -3 & 0 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} a \\\ b \\\ c \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\y\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\b\c \end{pmatrix}
e quer saber para quais a,b,c existe solução. Esse é um problema de sistemas lineares em \mathbb{R}^3. Vamos usar o determinante da matriz dos coeficientes para verificar se ela é invertível (logo, se o sistema é sempre compatível e determinado).

Passo 2

Calculemos o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix}.
Usando a expansão por cofactores na primeira linha, temos
\det(A) =3\det\!\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -3 & 0\end{pmatrix} -(-1)\det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} +2\det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & -3\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\!\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -3 & 0\end{pmatrix} =1\cdot0 - 1\cdot(-3)=3,
\det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} =2\cdot0 - 1\cdot1=-1,
\det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & -3\end{pmatrix} =2\cdot(-3) - 1\cdot1=-7.
Logo
\det(A)=3\cdot3 -(-1)\cdot(-1) +2\cdot(-7) =9 -1 -14 = -6.

Passo 3

Como \det(A)=-6\neq0, a matriz A é invertível, ou seja, tem posto 3. Isso implica que, para quaisquer valores de a,b,c, o sistema é compatível e determinado, admitindo solução única dada por
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = A^{-1}\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}.

Resposta

O sistema admite solução para todos os a,b,c\in\mathbb{R}.

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