Nas seguintes equações:
- Mostre que são separáveis.
- Resolva a equação e determine o intervalo no qual a solução está definida.
(a)
(b)
(c)
(d)
Caso seja possível, faça um gráfico ou dê uma ideia da solução.
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para cada uma das quatro equações:
– mostrar que é separável;
– encontrar a solução geral (e particular, quando vier condição inicial);
– determinar o intervalo de t (ou de x, no caso do item d) onde a solução existe sem singularidades.
O conteúdo é EDOs de primeira ordem separáveis (ou, no caso c, também tratável como linear mas que ficará separável). Vamos lembrar que, para EDO separável, escrevemos
– mostrar que é separável;
– encontrar a solução geral (e particular, quando vier condição inicial);
– determinar o intervalo de t (ou de x, no caso do item d) onde a solução existe sem singularidades.
O conteúdo é EDOs de primeira ordem separáveis (ou, no caso c, também tratável como linear mas que ficará separável). Vamos lembrar que, para EDO separável, escrevemos
e integramos cada lado.
Passo 2
(a)
Separando variáveis,
Separando variáveis,
Integramos:
Logo
Usando
dá
, de onde
O denominador só zera se
, i.e.\
ou
. Como a condição inicial está em
, o intervalo de validade é
Passo 3
(b)
Separamos:
Separamos:
Integramos:
Em
,
dá
, logo
. Assim
Resolvendo para
:
escolhendo o sinal de raiz que dá
. A expressão sob a raiz exige
i.e.\
, logo
Passo 4
(c)
Reescrevendo
Reescrevendo
é separável:
Integramos:
Como
, obtemos
daí
Não há singularidades para
.
Passo 5
(d)
Reescrevendo como
Reescrevendo como
Com
,
, vem
Do outro lado
. Logo
e portanto
com
e o radicando não negativo.
Resposta
(a)
,
.
(b) ,
.
(c) ,
.
(d) ,
, garantindo o radicando
.
(b)
(c)
(d)