Questão 1: Perguntas simples. Use c=3,0 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \mu_{0}=4 \pi \times 10^{7} \mathrm{H} / \mathrm{m}.
A razão entre as intensidades incidentes e transmitidas de uma onda polarizada que passa por um polarizador orientado a um ângulo \theta relativo ao plano de polarização da onda.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há uma onda eletromagnética polarizada que incide sobre um polarizador.
  • O eixo de transmissão do polarizador forma um ângulo \theta com o plano de polarização da onda incidente.
  • Valores fornecidos: c=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
    O que o problema pede:
  • Determinar a razão entre as intensidades incidente e transmitida quando a onda passa pelo polarizador (ou seja, expressar a intensidade transmitida em função da intensidade incidente e \theta).

Passo 2

Entender como intensidade de uma onda eletromagnética se relaciona com o campo elétrico.
  • Para uma onda plana senoidal no vácuo, o vetor de Poynting instantâneo tem magnitude S(t)=\dfrac{E(t)^{2}}{\mu_{0}c}, porque B=E/c e \mathbf{S}=\dfrac{1}{\mu_{0}}\mathbf{E}\times\mathbf{B}.
  • A intensidade (fluxo de energia médio) é a média temporal de S(t). Para E(t)=E_{0}\cos(\omega t) vale a média de \cos^{2}, que é 1/2. Logo a intensidade média é
I=\left\langle S\right\rangle=\frac{E_{0}^{2}}{2\mu_{0}c}.
Explicando variáveis:
  • E_{0} é a amplitude do campo elétrico (módulo máximo).
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo.
  • c é a velocidade da luz no vácuo.
    Essa fórmula mostra que, para ondas em vácuo, a intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude elétrica: I\propto E_{0}^{2}.

Passo 3

O que faz um polarizador sobre o campo elétrico:
  • Um polarizador ideal transmite apenas a componente do campo elétrico que está ao longo do seu eixo de transmissão.
  • Se a onda incidente tem amplitude E_{0} e sua direção de polarização forma ângulo \theta com o eixo do polarizador, a componente transmitida da amplitude é a projeção:
E_{\text{trans}}=E_{0}\cos\theta.
Isto é só trigonometria: projetar o vetor amplitude sobre o eixo do polarizador.

Passo 4

Calcular a intensidade transmitida usando a relação da Passo 2 e a componente de campo da Passo 3.
  • Intensidade incidente:
I_{\text{inc}}=\frac{E_{0}^{2}}{2\mu_{0}c}.
  • Intensidade transmitida (usar E_{\text{trans}}=E_{0}\cos\theta):
I_{\text{trans}}=\frac{E_{\text{trans}}^{2}}{2\mu_{0}c}=\frac{(E_{0}\cos\theta)^{2}}{2\mu_{0}c}=\frac{E_{0}^{2}}{2\mu_{0}c}\cos^{2}\theta.
  • Portanto relacionando as duas:
I_{\text{trans}}=I_{\text{inc}}\cos^{2}\theta.

Passo 5

Interpretações úteis (resumo curto):
  • A razão transmitida sobre incidente é \cos^{2}\theta.
  • Se alguém perguntar a razão incidente sobre transmitida, é \operatorname{sec}^{2}\theta (ou 1/\cos^{2}\theta).
  • Os valores de c e \mu_{0} não precisaram ser usados numericamente porque cancelam na razão; o que importa é que intensidade depende de E^{2}.

Resposta

\frac{I_{\text{trans}}}{I_{\text{inc}}}=\cos^{2}\theta

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