QUESTAO 7
Um objeto de massa \boldsymbol{m} e velocidade \boldsymbol{v} em relação a um observador explode em dois pedaços, um com massa três vezes maior que o outro; a explosão ocorre no espaço sideral. O pedaço de menor massa fica em repouso em relação ao observador. Qual é o aumento da energia cinética do sistema causado pela explosão, no referencial do observador?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um corpo de massa m move-se com velocidade v em relação ao observador antes da explosão.
  • O corpo explode em dois pedaços, um com massa três vezes maior que o outro.
  • A explosão ocorre no espaço sideral (ou seja, não há forças externas significativas atuando durante o evento).
  • O pedaço de menor massa fica em repouso em relação ao observador após a explosão.
    O que se pede:
  • Calcular o aumento da energia cinética do sistema, medido no referencial do observador, causado pela explosão (ou seja, \Delta K = K_{\text{final}} - K_{\text{inicial}}).

Passo 2

Definir as massas dos pedaços a partir da informação de proporção. Seja m_1 a massa do pedaço menor e m_2 a massa do pedaço maior. Do enunciado:
m_2 = 3\,m_1
e a soma das massas é a massa inicial:
m_1 + m_2 = m.
Substituindo m_2 na soma:
m_1 + 3\,m_1 = m \quad\Rightarrow\quad 4\,m_1 = m.
Logo:
m_1 = \dfrac{m}{4},\qquad m_2 = 3\,m_1 = \dfrac{3m}{4}.

Passo 3

Usar conservação do momento linear no referencial do observador. Explicando a ideia: se não há forças externas relevantes, a soma dos momentos lineares antes e depois da explosão é a mesma. Para um corpo de massa M e velocidade u, o momento linear é \,p = M u.
Antes da explosão o momento total é
p_{\text{inicial}} = m\,v.
Após a explosão, as velocidades dos pedaços serão v_1' (pedaço menor) e v_2' (pedaço maior). O enunciado diz que o pedaço menor fica em repouso no referencial do observador, isto é,
v_1' = 0.
Assim, o momento final é
p_{\text{final}} = m_1 v_1' + m_2 v_2' = 0 + m_2 v_2' = m_2 v_2'.
Pela conservação do momento:
m\,v = m_2 v_2'.
Isolando v_2':
v_2' = \dfrac{m\,v}{m_2}.
Substituindo m_2 = \dfrac{3m}{4}:
v_2' = \dfrac{m\,v}{\tfrac{3m}{4}} = v\cdot \dfrac{1}{\tfrac{3}{4}} = v\cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{4}{3}\,v.

Passo 4

Calcular a energia cinética inicial. A fórmula para energia cinética de uma massa M com velocidade u é
K = \dfrac{1}{2}\,M\,u^{2}.
Para o sistema inteiro antes da explosão (um único corpo de massa m e velocidade v):
K_{\text{inicial}} = \dfrac{1}{2}\,m\,v^{2}.

Passo 5

Calcular a energia cinética final do sistema. Após a explosão, a energia cinética total é a soma das energias de cada pedaço:
K_{\text{final}} = \dfrac{1}{2}\,m_1\,{v_1'}^{2} + \dfrac{1}{2}\,m_2\,{v_2'}^{2}.
Sabendo que v_1'=0, temos
K_{\text{final}} = 0 + \dfrac{1}{2}\,m_2\,{v_2'}^{2} = \dfrac{1}{2}\,m_2\left(\dfrac{4}{3}\,v\right)^{2}.
Substituindo m_2 = \dfrac{3m}{4}:
K_{\text{final}} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3m}{4}\cdot \dfrac{16}{9}\,v^{2}.
Fazendo as simplificações passo a passo:
\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{16}{9} = \dfrac{48}{36} = \dfrac{4}{3},
portanto
K_{\text{final}} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\,m\,v^{2} = \dfrac{2}{3}\,m\,v^{2}.

Passo 6

Calcular o aumento da energia cinética causado pela explosão:
\Delta K = K_{\text{final}} - K_{\text{inicial}} = \dfrac{2}{3}\,m\,v^{2} - \dfrac{1}{2}\,m\,v^{2}.
Colocando em denominador comum:
\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{6}.
Portanto
\Delta K = \dfrac{1}{6}\,m\,v^{2}.

Resposta

\Delta K = \dfrac{1}{6}\,m\,v^{2}

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