QUESTAO 7
Um objeto de massa
e velocidade
em relação a um observador explode em dois pedaços, um com massa três vezes maior que o outro; a explosão ocorre no espaço sideral. O pedaço de menor massa fica em repouso em relação ao observador. Qual é o aumento da energia cinética do sistema causado pela explosão, no referencial do observador?
Um objeto de massa
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Um corpo de massa
move-se com velocidade em relação ao observador antes da explosão. - O corpo explode em dois pedaços, um com massa três vezes maior que o outro.
- A explosão ocorre no espaço sideral (ou seja, não há forças externas significativas atuando durante o evento).
- O pedaço de menor massa fica em repouso em relação ao observador após a explosão.
O que se pede: - Calcular o aumento da energia cinética do sistema, medido no referencial do observador, causado pela explosão (ou seja,
).
Passo 2
Definir as massas dos pedaços a partir da informação de proporção. Seja
a massa do pedaço menor e
a massa do pedaço maior. Do enunciado:
e a soma das massas é a massa inicial:
Substituindo
na soma:
Logo:
Passo 3
Usar conservação do momento linear no referencial do observador. Explicando a ideia: se não há forças externas relevantes, a soma dos momentos lineares antes e depois da explosão é a mesma. Para um corpo de massa
e velocidade
, o momento linear é
.
Antes da explosão o momento total é
Após a explosão, as velocidades dos pedaços serão
(pedaço menor) e
(pedaço maior). O enunciado diz que o pedaço menor fica em repouso no referencial do observador, isto é,
Assim, o momento final é
Pela conservação do momento:
Isolando
:
Substituindo
:
Passo 4
Calcular a energia cinética inicial. A fórmula para energia cinética de uma massa
com velocidade
é
Para o sistema inteiro antes da explosão (um único corpo de massa
e velocidade
):
Passo 5
Calcular a energia cinética final do sistema. Após a explosão, a energia cinética total é a soma das energias de cada pedaço:
Sabendo que
, temos
Substituindo
:
Fazendo as simplificações passo a passo:
portanto
Passo 6
Calcular o aumento da energia cinética causado pela explosão:
Colocando em denominador comum:
Portanto