2.50. Uma partícula de massa m move-se com a energia potencial unidimensional dad por V(x)= v_{0}+\frac{4 V_{0}}{a^{2}}\left(\frac{x^{4}}{a^{2}}-x^{2}\right), onde v_{0} e a são constantes positivas.
b) Determine a freqência de pequenas oscilações em torno dos pontos de equilíbrio estável.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial unidimensional
V(x)=v_{0}+\frac{4V_{0}}{a^{2}}\Big(\frac{x^{4}}{a^{2}}-x^{2}\Big),
onde v_{0}>0, V_{0}>0 e a>0 são constantes. Pede-se a frequência das pequenas oscilações em torno dos pontos de equilíbrio estável. Vou listar claramente o que é pedido e os dados relevantes:
  • Dado: V(x)=v_{0}+\dfrac{4V_{0}}{a^{2}}\!\Big(\dfrac{x^{4}}{a^{2}}-x^{2}\Big).
  • Parâmetros: v_{0},V_{0},a>0 e massa da partícula m.
  • Pedido: frequência das pequenas oscilações em torno dos pontos de equilíbrio estável (ou seja, a frequência angular \omega e, se quiser, a frequência usual f=\omega/(2\pi)).

Passo 2

Para achar pontos de equilíbrio calculo V'(x) e imponho V'(x)=0. Primeiro expresso V(x) numa forma mais simples:
V(x)=v_{0}+\frac{4V_{0}}{a^{4}}x^{4}-\frac{4V_{0}}{a^{2}}x^{2}.
Derivando em relação a x:
V'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{4V_{0}}{a^{4}}x^{4}\right)-\frac{d}{dx}\!\left(\frac{4V_{0}}{a^{2}}x^{2}\right) =\frac{16V_{0}}{a^{4}}x^{3}-\frac{8V_{0}}{a^{2}}x.
Fatorando termos comuns:
V'(x)=\frac{8V_{0}}{a^{4}}\,x\,(2x^{2}-a^{2}).
As raízes (pontos críticos) são obtidas impondo V'(x)=0.

Passo 3

Resolvo V'(x)=0:
\frac{8V_{0}}{a^{4}}\,x\,(2x^{2}-a^{2})=0
Como \dfrac{8V_{0}}{a^{4}}\neq0, as soluções são
x=0\qquad\text{e}\qquad 2x^{2}-a^{2}=0 \Rightarrow x=\pm\frac{a}{\sqrt{2}}.
Portanto os pontos críticos são x=0 e x=\pm\dfrac{a}{\sqrt{2}}. Agora preciso testar quais são estáveis (mínimos) e quais são instáveis (máximos ou pontos de inflexão).

Passo 4

Para testar estabilidade uso a segunda derivada V''(x). Derivando V'(x):
V''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{16V_{0}}{a^{4}}x^{3}-\frac{8V_{0}}{a^{2}}x\right) =\frac{48V_{0}}{a^{4}}x^{2}-\frac{8V_{0}}{a^{2}}.
Avalio em cada ponto crítico.
Em x=0:
V''(0)=-\frac{8V_{0}}{a^{2}}<0,
portanto x=0 é ponto de equilíbrio instável (máximo local).
Em x=\pm\dfrac{a}{\sqrt{2}}:
calculo x^{2}=\dfrac{a^{2}}{2}, logo
V''\!\Big(\pm\frac{a}{\sqrt{2}}\Big) =\frac{48V_{0}}{a^{4}}\cdot\frac{a^{2}}{2}-\frac{8V_{0}}{a^{2}} =\frac{24V_{0}}{a^{2}}-\frac{8V_{0}}{a^{2}} =\frac{16V_{0}}{a^{2}}>0.
Portanto x=\pm\dfrac{a}{\sqrt{2}} são pontos de equilíbrio estáveis (mínimos locais).

Passo 5

Teoria das pequenas oscilações (explicação didática):
  • Se x_{0} é um mínimo de V(x), para pequenas oscilações ao redor de x_{0} escrevemos x(t)=x_{0}+\xi(t) com \xi pequeno.
  • Fazendo a expansão de Taylor de V em torno de x_{0} até a segunda ordem:
V(x_{0}+\xi)\approx V(x_{0})+V'(x_{0})\xi+\frac{1}{2}V''(x_{0})\xi^{2}.
  • Em equilíbrio estável V'(x_{0})=0, então o termo linear some e a energia potencial efetiva para \xi é aproximadamente \frac{1}{2}V''(x_{0})\xi^{2}, ou seja, um oscilador harmônico com constante elástica efetiva
k_{\text{ef}}=V''(x_{0}).
  • A equação de movimento para \xi é m\ddot{\xi}=-k_{\text{ef}}\xi, cuja solução é harmônica com frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{k_{\text{ef}}}{m}}=\sqrt{\frac{V''(x_{0})}{m}}.
Aqui m é a massa da partícula, V''(x_{0}) é a curvatura do potencial no mínimo e \omega tem unidades de rad/s. A frequência usual (em Hz) é f=\dfrac{\omega}{2\pi}.

Passo 6

Aplicando ao nosso caso, no mínimo x_{0}=\pm\dfrac{a}{\sqrt{2}} temos V''(x_{0})=\dfrac{16V_{0}}{a^{2}}. Assim a constante efetiva é
k_{\text{ef}}=\frac{16V_{0}}{a^{2}}.
A frequência angular das pequenas oscilações é
\omega=\sqrt{\frac{k_{\text{ef}}}{m}} =\sqrt{\frac{16V_{0}/a^{2}}{m}} =4\sqrt{\frac{V_{0}}{m a^{2}}}.
Se quiser a frequência em ciclos por segundo (Hz):
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{4}{2\pi}\sqrt{\frac{V_{0}}{m a^{2}}} =\frac{2}{\pi}\sqrt{\frac{V_{0}}{m a^{2}}}.

Resposta

\displaystyle \omega=4\sqrt{\frac{V_{0}}{m a^{2}}} (rad/s)
\displaystyle f=\frac{2}{\pi}\sqrt{\frac{V_{0}}{m a^{2}}} (Hz)

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