2.50. Uma partícula de massa m move-se com a energia potencial unidimensional dad por
, onde
e
são constantes positivas.
b) Determine a freqência de pequenas oscilações em torno dos pontos de equilíbrio estável.
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial unidimensional
onde
,
e
são constantes. Pede-se a frequência das pequenas oscilações em torno dos pontos de equilíbrio estável. Vou listar claramente o que é pedido e os dados relevantes:
- Dado:
. - Parâmetros:
e massa da partícula . - Pedido: frequência das pequenas oscilações em torno dos pontos de equilíbrio estável (ou seja, a frequência angular
e, se quiser, a frequência usual ).
Passo 2
Para achar pontos de equilíbrio calculo
e imponho
. Primeiro expresso
numa forma mais simples:
Derivando em relação a
:
Fatorando termos comuns:
As raízes (pontos críticos) são obtidas impondo
.
Passo 3
Resolvo
:
Como
, as soluções são
Portanto os pontos críticos são
e
. Agora preciso testar quais são estáveis (mínimos) e quais são instáveis (máximos ou pontos de inflexão).
Passo 4
Para testar estabilidade uso a segunda derivada
. Derivando
:
Avalio em cada ponto crítico.
Em
:
portanto
é ponto de equilíbrio instável (máximo local).
Em
:
calculo , logo
calculo
Portanto
são pontos de equilíbrio estáveis (mínimos locais).
Passo 5
Teoria das pequenas oscilações (explicação didática):
- Se
é um mínimo de , para pequenas oscilações ao redor de escrevemos com pequeno. - Fazendo a expansão de Taylor de
em torno de até a segunda ordem:
- Em equilíbrio estável
, então o termo linear some e a energia potencial efetiva para é aproximadamente , ou seja, um oscilador harmônico com constante elástica efetiva
- A equação de movimento para
é , cuja solução é harmônica com frequência angular
Aqui
é a massa da partícula,
é a curvatura do potencial no mínimo e
tem unidades de rad/s. A frequência usual (em Hz) é
.
Passo 6
Aplicando ao nosso caso, no mínimo
temos
. Assim a constante efetiva é
A frequência angular das pequenas oscilações é
Se quiser a frequência em ciclos por segundo (Hz):