QUESTÃO 4
Um carro de corrida acelera a partir do repouso, percorrendo uma distância
no tempo
, com o motor funcionando com potência constante
. Se for possível aumentar a potência do motor em um pequeno valor
, como é determinada a variação do tempo e a distância
em termos da nova potência?
Um carro de corrida acelera a partir do repouso, percorrendo uma distância
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
- Um carro de massa
parte do repouso e, com potência do motor constante , percorre a distância no tempo . - Pode-se aumentar a potência em um pequeno valor
, passando a potência para .
As perguntas implícitas que vou responder: - Qual será a nova distância
que o carro percorre no mesmo tempo se a potência passa a ser ? - Qual será a variação do tempo necessária para percorrer a mesma distância
quando a potência passa para (isto é, o novo tempo e a variação )?
Passo 2
Entender a relação potência—cinemática: o que significa potência constante aplicada ao carro que acelera?
- Potência
é a taxa de variação da energia mecânica fornecida ao carro. Ignorando perdas e rotação de rodas, essa energia vai para a energia cinética translacional. - Energia cinética do carro é
, onde é a massa do carro e a velocidade em função do tempo. - Potência entregue ao carro é a derivada temporal da energia cinética:
Esta é uma equação diferencial que relaciona
e
.
Passo 3
Resolver a equação para
partindo de
.
- A equação é
. Reescrevendo separando variáveis:
- Integro ambos os lados desde o repouso (
em ) até em tempo :
- Calculando as integrais:
- Portanto:
Explicação simples: com potência constante a velocidade cresce como raiz de
.
Passo 4
Encontrar a posição
(o deslocamento) integrando
.
- Como
, temos
- Integro:
- Pelo enunciado, para potência
e tempo o deslocamento é . Assim:
Essa expressão relaciona
. Guardaremos essa igualdade para comparar com os casos alterados.
Passo 5
Determinar a nova distância
percorrida no mesmo tempo
quando a potência passa a ser
.
- Substituindo
em para :
- Usando a expressão para
obtida antes, é conveniente relacionar com . Note que
logo dividindo as expressões:
- Portanto a expressão exata para
é
Isto responde a parte da questão:
cresce como a raiz de
.
Passo 6
Determinar o novo tempo
(e a variação
) necessário para percorrer a mesma distância
com potência
.
- Partimos da fórmula geral para a distância com potência
:
- Comparando com a expressão original
, isolamos :
- Elevando ao expoente
:
- Esta é a expressão exata para o novo tempo
. A variação é .
Passo 7
Fazer aproximações de primeira ordem para pequenos aumentos
(expansões úteis na prova).
- Usar a expansão de Taylor
para .
Para
:
Logo a variação da distância em ordem linear é
Para
:
Logo a variação do tempo em ordem linear é
Interpretação: um pequeno aumento percentual da potência
reduz o tempo aproximadamente em
desse percentual e aumenta a distância percorrida no mesmo tempo em metade desse percentual.