QUESTÃO 4
Um carro de corrida acelera a partir do repouso, percorrendo uma distância \boldsymbol{D} no tempo \boldsymbol{T}, com o motor funcionando com potência constante \boldsymbol{P}. Se for possível aumentar a potência do motor em um pequeno valor \boldsymbol{d P}, como é determinada a variação do tempo e a distância \mathbf{L} em termos da nova potência?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Um carro de massa m parte do repouso e, com potência do motor constante P, percorre a distância \,D\, no tempo \,T.
  • Pode-se aumentar a potência em um pequeno valor \,dP, passando a potência para P+dP.
    As perguntas implícitas que vou responder:
  • Qual será a nova distância \,L\, que o carro percorre no mesmo tempo \,T se a potência passa a ser P+dP?
  • Qual será a variação do tempo necessária para percorrer a mesma distância \,D quando a potência passa para P+dP (isto é, o novo tempo T' e a variação dT=T'-T)?

Passo 2

Entender a relação potência—cinemática: o que significa potência constante aplicada ao carro que acelera?
  • Potência P é a taxa de variação da energia mecânica fornecida ao carro. Ignorando perdas e rotação de rodas, essa energia vai para a energia cinética translacional.
  • Energia cinética do carro é \dfrac{1}{2}m v^2, onde m é a massa do carro e v(t) a velocidade em função do tempo.
  • Potência entregue ao carro é a derivada temporal da energia cinética:
P=\frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{2}m v^2\right)=m v\frac{dv}{dt}.
Esta é uma equação diferencial que relaciona v e t.

Passo 3

Resolver a equação para v(t) partindo de v(0)=0.
  • A equação é m v \dfrac{dv}{dt}=P. Reescrevendo separando variáveis:
m v\,dv = P\,dt.
  • Integro ambos os lados desde o repouso ( v=0 em t=0) até v=v(t) em tempo t:
\int_{0}^{v} m u\,du = \int_{0}^{t} P\,dt.
  • Calculando as integrais:
\tfrac{1}{2} m v^2 = P t.
  • Portanto:
v(t)=\sqrt{\dfrac{2P}{m}\,t}.
Explicação simples: com potência constante a velocidade cresce como raiz de t.

Passo 4

Encontrar a posição x(t) (o deslocamento) integrando v(t).
  • Como x(0)=0, temos
x(t)=\int_{0}^{t} v(t')\,dt' = \int_{0}^{t} \sqrt{\dfrac{2P}{m}}\,(t')^{1/2}\,dt'.
  • Integro:
x(t)=\sqrt{\dfrac{2P}{m}}\cdot \frac{2}{3}\,t^{3/2}=\frac{2}{3}\sqrt{\dfrac{2P}{m}}\,t^{3/2}.
  • Pelo enunciado, para potência P e tempo T o deslocamento é D. Assim:
D = \frac{2}{3}\sqrt{\dfrac{2P}{m}}\,T^{3/2}.
Essa expressão relaciona D,T,P,m. Guardaremos essa igualdade para comparar com os casos alterados.

Passo 5

Determinar a nova distância L percorrida no mesmo tempo T quando a potência passa a ser P+dP.
  • Substituindo P+dP em x(t) para t=T:
L = \frac{2}{3}\sqrt{\dfrac{2(P+dP)}{m}}\,T^{3/2}.
  • Usando a expressão para D obtida antes, é conveniente relacionar L com D. Note que
D = \frac{2}{3}\sqrt{\dfrac{2P}{m}}\,T^{3/2},
logo dividindo as expressões:
\frac{L}{D}=\sqrt{\dfrac{P+dP}{P}}.
  • Portanto a expressão exata para L é
L = D\sqrt{1+\dfrac{dP}{P}}.
Isto responde a parte da questão: L cresce como a raiz de 1+dP/P.

Passo 6

Determinar o novo tempo T' (e a variação dT) necessário para percorrer a mesma distância D com potência P+dP.
  • Partimos da fórmula geral para a distância com potência P+dP:
D = \frac{2}{3}\sqrt{\dfrac{2(P+dP)}{m}}\,(T')^{3/2}.
  • Comparando com a expressão original D = \dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{2P}{m}}\,T^{3/2}, isolamos T':
T'^{3/2} = T^{3/2}\sqrt{\dfrac{P}{P+dP}}.
  • Elevando ao expoente 2/3:
T' = T\left(\dfrac{P}{P+dP}\right)^{1/3}.
  • Esta é a expressão exata para o novo tempo T'. A variação dT é dT=T'-T.

Passo 7

Fazer aproximações de primeira ordem para pequenos aumentos \,dP\ll P (expansões úteis na prova).
  • Usar a expansão de Taylor (1+\varepsilon)^\alpha \approx 1+\alpha\varepsilon para |\varepsilon|\ll1.
Para L:
L = D\sqrt{1+\dfrac{dP}{P}} = D\left(1+\dfrac{dP}{P}\right)^{1/2} \approx D\left(1+\tfrac{1}{2}\dfrac{dP}{P}\right).
Logo a variação da distância em ordem linear é
\Delta L = L-D \approx \tfrac{1}{2}D\,\dfrac{dP}{P}.
Para T':
T' = T\left(1+\dfrac{dP}{P}\right)^{-1/3} \approx T\left(1-\tfrac{1}{3}\dfrac{dP}{P}\right).
Logo a variação do tempo em ordem linear é
dT = T'-T \approx -\tfrac{1}{3}T\,\dfrac{dP}{P}.
Interpretação: um pequeno aumento percentual da potência \dfrac{dP}{P} reduz o tempo aproximadamente em \tfrac{1}{3} desse percentual e aumenta a distância percorrida no mesmo tempo em metade desse percentual.

Resposta

L = D\sqrt{1+\dfrac{dP}{P}} \approx D\left(1+\dfrac{1}{2}\dfrac{dP}{P}\right)\n
T' = T\left(\dfrac{P}{P+dP}\right)^{1/3} \approx T\left(1-\dfrac{1}{3}\dfrac{dP}{P}\right)

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