Questão 3

Um observador S vê um flash de luz vermelha a uma distância de 1210 m e um flash de luz azul 730 m mais próximo e na mesma linha reta. S mede o intervalo de tempo entre a ocorrência dos flashes como sendo 4,96 \mu \mathrm{~s}, o flash vermelho ocorrendo primeiro.
(a) Encontre a velocidade relativa, intensidade, direção e sentido, de um segundo observador S^{\prime} que veria esses flashes ocorrendo na mesma posição.
(b) Do ponto de vista de S^{\prime}, qual flash ocorre primeiro e qual é o intervalo de tempo medido entre os flashes?

Passo 1

Vamos organizar claramente o que o enunciado nos dá (vou escolher um eixo x que aponta da posição do observador S para a direção onde estão os flashes, ou seja, os flashes têm coordenadas x>0).
  • O flash vermelho está a 1210\\ \mathrm{m} de S. Coloco sua posição como
x_R = 1210\\ \mathrm{m}.
  • O flash azul está 730\\ \mathrm{m} mais próximo do que o vermelho, na mesma linha. Então a posição do azul é
x_B = 1210\\ \mathrm{m} - 730\\ \mathrm{m} = 480\\ \mathrm{m}.
  • O observador S mede o intervalo de tempo entre os flashes como sendo \,4,96\\ \mu\mathrm{s}, com o vermelho ocorrendo primeiro. Para simplificar a conta escolho as origens de tempo tal que o evento vermelho ocorre em
t_R = 0
e o evento azul em
t_B = 4,96\\ \mu\mathrm{s} = 4,96\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}.
  • Assim as separações entre os dois eventos (do ponto de vista de S) são
\Delta x = x_B - x_R = 480 - 1210 = -730\\ \mathrm{m},
\Delta t = t_B - t_R = 4,96\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.
O problema pede:
(a) encontrar a velocidade (magnitude, direção e sentido) de um observador S' que veria os dois flashes ocorrendo na mesma posição (isto é, \Delta x' = 0);
(b) do ponto de vista de S', qual flash ocorre primeiro e qual é o intervalo de tempo medido entre eles.

Passo 2

Equação que relaciona separações espaciais entre dois eventos nas duas referências (transformação de Lorentz para separações):
\Delta x' = \gamma\bigl(\Delta x - v\,\Delta t\bigr),
onde v é a velocidade de S' relativa a S (positiva se S' se move no sentido positivo do eixo x que definimos), e
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}
é o fator de Lorentz. Se queremos que os dois eventos ocorram na mesma posição em S', exigimos \Delta x' = 0. Portanto
0=\gamma\bigl(\Delta x - v\,\Delta t\bigr).
Como \gamma\neq0, isso implica simplesmente
v=\frac{\Delta x}{\Delta t}.
Interpretação física rápida: entre os dois flashes o quadro S' deve ter se deslocado exatamente a mesma distância relativa \Delta x para que, no seu sistema, ambos ocorram no mesmo ponto. Essa é a forma direta de achar v.

Passo 3

Agora calculamos numericamente v usando os valores do Passo 1:
\Delta x = -730\\ \mathrm{m},\qquad \Delta t = 4,96\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.
Logo
v=\frac{-730}{4,96\times10^{-6}}\\ \mathrm{m/s} \approx -1,4718\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Para caracterizar em relação a c tomo c=3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. Então
\beta\equiv\frac{v}{c}\approx\frac{-1,4718\times10^{8}}{3,00\times10^{8}} \approx -0,4906\approx -0,49.
Explicando o sinal e o sentido: escolhemos o eixo x apontando da posição de S para os flashes (os flashes têm x>0). O sinal negativo de v indica que S' se move no sentido negativo do eixo x, ou seja, no sentido oposto ao que aponta para os flashes. Em palavras: a velocidade tem magnitude 1{,}47\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} (aprox. 0{,}49\,c), e seu sentido é "para o lado negativo do eixo x" (oposto à direção que leva de S aos flashes).
Também podemos calcular o fator \gamma só para referência:
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}\approx\frac{1}{\sqrt{1-0{,}4906^{2}}}\approx 1{,}15\\ (\text{aprox. }1{,}1477).

Passo 4

Agora vamos calcular o intervalo de tempo medido por S' entre os dois flashes. Como escolhemos v de modo que \Delta x'=0, nos interessa \Delta t' com \Delta x'=0. Podemos usar a invariância do intervalo espaço-tempo (é uma forma limpa e curta):
A invariância diz
c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}=c^{2}\Delta t'^{2}-\Delta x'^{2}.
Como \Delta x'=0 isso reduz para
c^{2}\Delta t'^{2}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}.
Dividindo por c^{2} e extraindo raiz positiva (o intervalo temporal próprio entre dois eventos com \Delta x'=0 é positivo),
\Delta t'=\sqrt{\Delta t^{2}-\frac{\Delta x^{2}}{c^{2}}}.

Passo 5

Agora substituímos numericamente. Usando \Delta t=4,96\times10^{-6}\\ \mathrm{s}, \Delta x=-730\\ \mathrm{m} e c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
Calculemos passo a passo
\Delta t^{2}=(4,96\times10^{-6})^{2}=2,460416\times10^{-11}\\ \mathrm{s}^{2},
\frac{\Delta x^{2}}{c^{2}}=\frac{(730)^{2}}{(3,00\times10^{8})^{2}} =\frac{532900}{9,00\times10^{16}} \approx 5,92111\times10^{-12}\\ \mathrm{s}^{2}.
Subtraindo,
\Delta t^{2}-\frac{\Delta x^{2}}{c^{2}}\approx 2,460416\times10^{-11}-5,92111\times10^{-12} =1,868305\times10^{-11}\\ \mathrm{s}^{2}.
Tomando raiz,
\Delta t'=\sqrt{1,868305\times10^{-11}}\\ \mathrm{s}\approx 4,3245\times10^{-6}\\ \mathrm{s}=4,3245\\ \mu\mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente para dois decimais em microsegundos:
\Delta t'\approx 4,32\\ \mu\mathrm{s}.
Quanto à ordem dos acontecimentos: em S o vermelho ocorreu primeiro e o azul depois. A separação entre os eventos é temporal (timelike), porque existe um referencial ( S') onde \Delta x'=0 — em tal caso a ordem temporal é a mesma em todos os referenciais (eventos timelike têm ordem temporal invariável). Matemática: nós obtivemos \Delta t'>0, isto é, t'_B-t'_R>0. Portanto, em S' o flash vermelho também ocorre primeiro, seguido do azul, e o intervalo medido é \Delta t'\approx 4,32\\ \mu\mathrm{s}.

Resposta

(a) v\approx -1,47\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} (magnitude 1,47\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, isto é cerca de |v|\approx 0{,}49\,c); a direção é ao longo da mesma linha dos flashes e o sentido é o negativo do eixo x que apontava para os flashes (ou seja, S' move-se no sentido oposto ao que leva de S aos flashes).
(b) O flash vermelho ocorre primeiro também em S'; o intervalo medido por S' é \Delta t'\approx 4,32\\ \mu\mathrm{s}.

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