Questão 3
Um observador
vê um flash de luz vermelha a uma distância de 1210 m e um flash de luz azul 730 m mais próximo e na mesma linha reta.
mede o intervalo de tempo entre a ocorrência dos flashes como sendo
, o flash vermelho ocorrendo primeiro.
(a) Encontre a velocidade relativa, intensidade, direção e sentido, de um segundo observador
que veria esses flashes ocorrendo na mesma posição.
(b) Do ponto de vista de
, qual flash ocorre primeiro e qual é o intervalo de tempo medido entre os flashes?
(a) Encontre a velocidade relativa, intensidade, direção e sentido, de um segundo observador
(b) Do ponto de vista de
Passo 1
Vamos organizar claramente o que o enunciado nos dá (vou escolher um eixo
que aponta da posição do observador
para a direção onde estão os flashes, ou seja, os flashes têm coordenadas
).
- O flash vermelho está a
de . Coloco sua posição como
- O flash azul está
mais próximo do que o vermelho, na mesma linha. Então a posição do azul é
- O observador
mede o intervalo de tempo entre os flashes como sendo , com o vermelho ocorrendo primeiro. Para simplificar a conta escolho as origens de tempo tal que o evento vermelho ocorre em
e o evento azul em
- Assim as separações entre os dois eventos (do ponto de vista de
) são
O problema pede:
(a) encontrar a velocidade (magnitude, direção e sentido) de um observador que veria os dois flashes ocorrendo na mesma posição (isto é,
);
(b) do ponto de vista de , qual flash ocorre primeiro e qual é o intervalo de tempo medido entre eles.
(a) encontrar a velocidade (magnitude, direção e sentido) de um observador
(b) do ponto de vista de
Passo 2
Equação que relaciona separações espaciais entre dois eventos nas duas referências (transformação de Lorentz para separações):
onde
é a velocidade de
relativa a
(positiva se
se move no sentido positivo do eixo
que definimos), e
é o fator de Lorentz. Se queremos que os dois eventos ocorram na mesma posição em
, exigimos
. Portanto
Como
, isso implica simplesmente
Interpretação física rápida: entre os dois flashes o quadro
deve ter se deslocado exatamente a mesma distância relativa
para que, no seu sistema, ambos ocorram no mesmo ponto. Essa é a forma direta de achar
.
Passo 3
Agora calculamos numericamente
usando os valores do Passo 1:
Logo
Para caracterizar em relação a
tomo
. Então
Explicando o sinal e o sentido: escolhemos o eixo
apontando da posição de
para os flashes (os flashes têm
). O sinal negativo de
indica que
se move no sentido negativo do eixo
, ou seja, no sentido oposto ao que aponta para os flashes. Em palavras: a velocidade tem magnitude
(aprox.
), e seu sentido é "para o lado negativo do eixo
" (oposto à direção que leva de
aos flashes).
Também podemos calcular o fator
só para referência:
Passo 4
Agora vamos calcular o intervalo de tempo medido por
entre os dois flashes. Como escolhemos
de modo que
, nos interessa
com
. Podemos usar a invariância do intervalo espaço-tempo (é uma forma limpa e curta):
A invariância diz
Como
isso reduz para
Dividindo por
e extraindo raiz positiva (o intervalo temporal próprio entre dois eventos com
é positivo),
Passo 5
Agora substituímos numericamente. Usando
,
e
:
Calculemos passo a passo
Subtraindo,
Tomando raiz,
Arredondando razoavelmente para dois decimais em microsegundos:
Quanto à ordem dos acontecimentos: em
o vermelho ocorreu primeiro e o azul depois. A separação entre os eventos é temporal (timelike), porque existe um referencial (
) onde
— em tal caso a ordem temporal é a mesma em todos os referenciais (eventos timelike têm ordem temporal invariável). Matemática: nós obtivemos
, isto é,
. Portanto, em
o flash vermelho também ocorre primeiro, seguido do azul, e o intervalo medido é
.
Resposta
(a)
(magnitude
, isto é cerca de
); a direção é ao longo da mesma linha dos flashes e o sentido é o negativo do eixo
que apontava para os flashes (ou seja,
move-se no sentido oposto ao que leva de
aos flashes).
(b) O flash vermelho ocorre primeiro também em ; o intervalo medido por
é
.
(b) O flash vermelho ocorre primeiro também em