Questão 1

Derive as equações: x=\gamma\left(x^{\prime}+v t^{\prime}\right) e t=\gamma\left(t^{\prime}+\frac{v x^{\prime}}{c^{2}}\right) para as transformações inversas de Lorentz através da inversão algébrica das equações para a transformação de Lorentz.

Passo 1

O enunciado dá as transformações de Lorentz diretas entre dois referenciais (S e S’) em movimento relativo com velocidade \,v na direção x e pede que derivemos as transformações inversas por inversão algébrica. As informações fornecidas são:
x' = \gamma\,(x - v t)
t' = \gamma\!\left(t - \frac{v x}{c^{2}}\right)
Onde:
  • \,x e \,t são as coordenadas no referencial S;
  • \,x' e \,t' são as coordenadas no referencial S';
  • \,c é a velocidade da luz;
  • \displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} é o fator de Lorentz.
O que a questão pede: mostrar, por manipulação algébrica dessas duas equações, que as equações inversas são
x=\gamma\left(x^{\prime}+v t^{\prime}\right) \qquad\text{e}\qquad t=\gamma\left(t^{\prime}+\frac{v x^{\prime}}{c^{2}}\right).

Passo 2

Primeiro tratamos as duas equações como um sistema linear em x e t. Reescrevemos a primeira equação isolando x:
x' = \gamma\,(x - v t) \quad\Rightarrow\quad x - v t = \frac{x'}{\gamma}.
Daí obtemos
x = \frac{x'}{\gamma} + v t.
Esta expressão nos dá x em função de t e de x'. Na próxima etapa vamos usar a segunda equação para eliminar t.

Passo 3

Agora substituímos a expressão de x na segunda equação para resolver t. A segunda equação é
t' = \gamma\!\left(t - \frac{v x}{c^{2}}\right).
Substituindo x = \dfrac{x'}{\gamma} + v t obtemos
t' = \gamma\!\left(t - \frac{v}{c^{2}}\left(\frac{x'}{\gamma} + v t\right)\right).
Escrevendo passo a passo a expansão dentro do parêntese:
t' = \gamma\!\left(t - \frac{v x'}{\gamma c^{2}} - \frac{v^{2} t}{c^{2}}\right).
Agora fatoramos t nos termos que o contêm:
t' = \gamma\!\left(t\left(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right) - \frac{v x'}{\gamma c^{2}}\right).

Passo 4

Usamos a identidade fundamental do fator de Lorentz \displaystyle 1-\frac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{1}{\gamma^{2}}. Substituindo na expressão anterior:
t' = \gamma\!\left(\frac{t}{\gamma^{2}} - \frac{v x'}{\gamma c^{2}}\right).
Multiplicamos os termos dentro do parêntese por \gamma:
t' = \frac{t}{\gamma} - \frac{v x'}{c^{2}}.
Agora isolamos t. Somando \dfrac{v x'}{c^{2}} aos dois lados e multiplicando por \gamma:
\frac{t}{\gamma} = t' + \frac{v x'}{c^{2}} \quad\Rightarrow\quad t = \gamma\!\left(t' + \frac{v x'}{c^{2}}\right).
Pronto — encontramos a expressão para t em função de x' e t'.

Passo 5

Agora usamos a expressão obtida para t para descobrir x. Lembremos que tínhamos
x = \frac{x'}{\gamma} + v t.
Substituindo t = \gamma\!\left(t' + \dfrac{v x'}{c^{2}}\right) na expressão de x:
x = \frac{x'}{\gamma} + v\cdot \gamma\!\left(t' + \frac{v x'}{c^{2}}\right).
Expandindo:
x = \frac{x'}{\gamma} + \gamma v t' + \gamma\frac{v^{2} x'}{c^{2}}.
Agrupamos os termos que multiplicam x':
x = \left(\frac{1}{\gamma} + \gamma\frac{v^{2}}{c^{2}}\right) x' + \gamma v t'.

Passo 6

Simplificamos o coeficiente de x'. Observamos que
\frac{1}{\gamma} + \gamma\frac{v^{2}}{c^{2}} = \frac{1}{\gamma}\left(1 + \gamma^{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\right).
Agora usamos que \gamma^{2}\frac{v^{2}}{c^{2}} = \gamma^{2}\left(1 - \frac{1}{\gamma^{2}}\right) = \gamma^{2} - 1. Então
1 + \gamma^{2}\frac{v^{2}}{c^{2}} = 1 + (\gamma^{2}-1) = \gamma^{2}.
Logo
\frac{1}{\gamma} + \gamma\frac{v^{2}}{c^{2}} = \frac{\gamma^{2}}{\gamma} = \gamma.
Substituindo de volta em x:
x = \gamma x' + \gamma v t' = \gamma\!\left(x' + v t'\right).
Assim obtemos a expressão para x.

Resposta

x=\gamma\left(x^{\prime}+v t^{\prime}\right)
t=\gamma\left(t^{\prime}+\frac{v x^{\prime}}{c^{2}}\right)

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