Questão 1
Derive as equações:
e
para as transformações inversas de Lorentz através da inversão algébrica das equações para a transformação de Lorentz.
Passo 1
O enunciado dá as transformações de Lorentz diretas entre dois referenciais (S e S’) em movimento relativo com velocidade
na direção
e pede que derivemos as transformações inversas por inversão algébrica. As informações fornecidas são:
Onde:
-
e são as coordenadas no referencial ; -
e são as coordenadas no referencial ; -
é a velocidade da luz; -
é o fator de Lorentz.
O que a questão pede: mostrar, por manipulação algébrica dessas duas equações, que as equações inversas são
Passo 2
Primeiro tratamos as duas equações como um sistema linear em
e
. Reescrevemos a primeira equação isolando
:
Daí obtemos
Esta expressão nos dá
em função de
e de
. Na próxima etapa vamos usar a segunda equação para eliminar
.
Passo 3
Agora substituímos a expressão de
na segunda equação para resolver
. A segunda equação é
Substituindo
obtemos
Escrevendo passo a passo a expansão dentro do parêntese:
Agora fatoramos
nos termos que o contêm:
Passo 4
Usamos a identidade fundamental do fator de Lorentz
. Substituindo na expressão anterior:
Multiplicamos os termos dentro do parêntese por
:
Agora isolamos
. Somando
aos dois lados e multiplicando por
:
Pronto — encontramos a expressão para
em função de
e
.
Passo 5
Agora usamos a expressão obtida para
para descobrir
. Lembremos que tínhamos
Substituindo
na expressão de
:
Expandindo:
Agrupamos os termos que multiplicam
:
Passo 6
Simplificamos o coeficiente de
. Observamos que
Agora usamos que
. Então
Logo
Substituindo de volta em
:
Assim obtemos a expressão para
.