Questão 7

Duas partículas idênticas, cada uma de massa 1,30 \mathrm{mg}, movendo-se com velocidades iguais, mas opostas, de 0,580 c no referencial do laboratório, se chocam e grudam. Encontre a massa da partícula resultante.

Passo 1

O enunciado pede a massa da partícula resultante depois que duas partículas idênticas colidem e grudam. Dados fornecidos:
  • massa de cada partícula: m=1{,}30\\ \mathrm{mg};
  • velocidade de cada partícula no referencial do laboratório: \pm v com v=0{,}580\,c (ou seja, uma vai para a direita com velocidade +0{,}580\,c e a outra para a esquerda com velocidade -0{,}580\,c);
  • as partículas grudam (colisão perfeitamente inelástica).
    Pergunta: encontrar a massa (massa de repouso) da partícula resultante após a colisão.

Passo 2

Relembrando a teoria necessária (passo a passo, sem pular etapas):
  • Em relatividade especial, a energia total de uma partícula é
E=\gamma m c^2,
onde m é a massa de repouso da partícula, c é a velocidade da luz e
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}
é o fator de Lorentz. Aqui v é a velocidade da partícula no referencial considerado.
  • O momento relativístico de uma partícula é
\mathbf{p}=\gamma m \mathbf{v}.
  • A quantidade invariável que nos interessa para achar a massa da combinação é a massa invariante (massa de repouso do sistema), que satisfaz
M^2 c^4 = E_{\text{tot}}^2 - (p_{\text{tot}} c)^2,
onde E_{\text{tot}} e \mathbf{p}_{\text{tot}} são a energia total e o momento total do sistema de partículas no referencial considerado.
  • Observação simplificadora para este problema: como as duas partículas têm velocidades iguais em módulo e opostas ( +v e -v), seus momentos vetoriais somam zero:
\mathbf{p}_{\text{tot}}=\gamma m (+\mathbf{v})+\gamma m (-\mathbf{v})=\mathbf{0}.
Logo p_{\text{tot}}=0 e a fórmula da massa invariante reduz-se a
M c^2 = E_{\text{tot}}.
Isto significa que a massa de repouso M da partícula resultante é simplesmente a energia total inicial dividida por c^2.

Passo 3

Fazer a conversão de unidades e calcular \gamma:
  • Converter m para o SI: 1\\ \mathrm{mg}=10^{-6}\\ \mathrm{kg}, logo
m=1{,}30\\ \mathrm{mg}=1{,}30\times10^{-6}\\ \mathrm{kg}.
  • Calcular \gamma para v=0{,}580\,c:
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left(0{,}580\right)^2}}.
Calculemos os passos numéricos:
\left(0{,}580\right)^2=0{,}580\times0{,}580=0{,}3364,
1-0{,}3364=0{,}6636,
\sqrt{0{,}6636}\approx0{,}81469,
\gamma=\frac{1}{0{,}81469}\approx1{,}2274.

Passo 4

Calcular a energia total inicial E_{\text{tot}}. Cada partícula tem energia E=\gamma m c^2, então
E_{\text{tot}}=2\gamma m c^2.
Como o momento total é zero, a massa resultante M satisfaz M c^2=E_{\text{tot}}, portanto
M=2\gamma m.
Note que c^2 cancela ao passar de energia para massa, então não precisamos usar o valor numérico de c explicitamente.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos:
M=2\gamma m = 2\times1{,}2274\times\left(1{,}30\times10^{-6}\\ \mathrm{kg}\right).
Calcule passo a passo:
2\times1{,}2274=2{,}4548,
2{,}4548\times1{,}30=3{,}19124,
M=3{,}19124\times10^{-6}\\ \mathrm{kg}.
Converter para miligramas (lembrando 1\\ \mathrm{mg}=10^{-6}\\ \mathrm{kg}):
M\approx3{,}19124\\ \mathrm{mg}.
Arredondando de acordo com os dados (três algarismos significativos em m e em v), podemos escrever
M\approx3{,}19\\ \mathrm{mg}.

Resposta

M=3{,}19\\ \mathrm{mg}

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