Questão 7
Duas partículas idênticas, cada uma de massa
, movendo-se com velocidades iguais, mas opostas, de
no referencial do laboratório, se chocam e grudam. Encontre a massa da partícula resultante.
Passo 1
O enunciado pede a massa da partícula resultante depois que duas partículas idênticas colidem e grudam. Dados fornecidos:
- massa de cada partícula:
; - velocidade de cada partícula no referencial do laboratório:
com (ou seja, uma vai para a direita com velocidade e a outra para a esquerda com velocidade ); - as partículas grudam (colisão perfeitamente inelástica).
Pergunta: encontrar a massa (massa de repouso) da partícula resultante após a colisão.
Passo 2
Relembrando a teoria necessária (passo a passo, sem pular etapas):
- Em relatividade especial, a energia total de uma partícula é
onde
é a massa de repouso da partícula,
é a velocidade da luz e
é o fator de Lorentz. Aqui
é a velocidade da partícula no referencial considerado.
- O momento relativístico de uma partícula é
- A quantidade invariável que nos interessa para achar a massa da combinação é a massa invariante (massa de repouso do sistema), que satisfaz
onde
e
são a energia total e o momento total do sistema de partículas no referencial considerado.
- Observação simplificadora para este problema: como as duas partículas têm velocidades iguais em módulo e opostas (
e ), seus momentos vetoriais somam zero:
Logo
e a fórmula da massa invariante reduz-se a
Isto significa que a massa de repouso
da partícula resultante é simplesmente a energia total inicial dividida por
.
Passo 3
Fazer a conversão de unidades e calcular
:
- Converter
para o SI: , logo
- Calcular
para :
Calculemos os passos numéricos:
Passo 4
Calcular a energia total inicial
. Cada partícula tem energia
, então
Como o momento total é zero, a massa resultante
satisfaz
, portanto
Note que
cancela ao passar de energia para massa, então não precisamos usar o valor numérico de
explicitamente.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos:
Calcule passo a passo:
Converter para miligramas (lembrando
):
Arredondando de acordo com os dados (três algarismos significativos em
e em
), podemos escrever