Questão: Obtenha uma aproximação com erro menor que 0,0005 da soma de cada série.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^{5}}

Passo 1

O que o enunciado pede: aproximar a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{5}}
de forma que o erro da aproximação seja menor que \,0,0005.
Informações dadas: os termos gerais são a_n = \dfrac{1}{n^{5}} com sinal alternado (-1)^{n-1}. Não há mais dados além disso.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (explicação didática): o Teorema da Estimativa para Séries Alternadas (também chamado de critério de Leibniz para restos).
  • Enunciado simples do teorema: se \{a_n\} é uma sequência de números positivos, monotonicamente decrescente e com \lim_{n\to\infty} a_n = 0, então a série alternada \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_nconverge, e o resto ao truncar depois de N termos (ou seja, o erro R_N = S - S_N) satisfaz |R_N| \le a_{N+1}.
  • Intuição: para uma série alternada cujos termos positivos vão decrescendo para zero, os termos que ficam “faltando” a partir do primeiro omitido têm sinal alternado e tamanho menor que o primeiro omitido; por isso o erro em tomar uma soma parcial fica limitado pelo valor do primeiro termo que deixamos de somar.
  • Como usar na prática: escolher N tal que a_{N+1} seja menor que a tolerância desejada. Aqui a tolerância é 0,0005.

Passo 3

Verificar hipóteses do teorema para a nossa série:
  • A sequência a_n = \dfrac{1}{n^{5}} é positiva para todo n.
  • É monotonicamente decrescente porque n \mapsto n^{5} cresce, então \dfrac{1}{n^{5}} decresce (se n_1<n_2 então n_1^{5}<n_2^{5} e 1/n_1^{5}>1/n_2^{5}).
  • Tem \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{5}}=0.
Logo as hipóteses do teorema estão satisfeitas e vale a estimativa |R_N|\le a_{N+1}.

Passo 4

Determinar quantos termos precisamos para garantir erro <0,0005.
Queremos a_{N+1}=\dfrac{1}{(N+1)^{5}}<0,0005. Isto é equivalente a
(N+1)^{5} > \dfrac{1}{0,0005}=2000.
Agora verificamos potências inteiras pequenas:
2^{5}=32,\quad 3^{5}=243,\quad 4^{5}=1024,\quad 5^{5}=3125.
Como 4^{5}=1024<2000 e 5^{5}=3125>2000, basta tomar N+1=5, ou seja N=4. Assim, a soma parcial com os primeiros 4 termos já garante erro \le a_{5}=\dfrac{1}{5^{5}}=\dfrac{1}{3125}=0,00032<0,0005.

Passo 5

Calcular a soma parcial com N=4:
S_4=\sum_{n=1}^{4}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{5}} =1-\frac{1}{2^{5}}+\frac{1}{3^{5}}-\frac{1}{4^{5}}.
Calculemos termo a termo (com decimais para facilitar):
\frac{1}{2^{5}}=\frac{1}{32}=0,03125, \qquad \frac{1}{3^{5}}=\frac{1}{243}\approx 0,0041152263374485597, \qquad \frac{1}{4^{5}}=\frac{1}{1024}=0,0009765625.
Somando na ordem indicada:
1-0,03125=0,96875,
0,96875+0,0041152263374485597=0,9728652263374485597,
0,9728652263374485597-0,0009765625=0,9718886638374485597.
Portanto
S_4=1-\frac{1}{32}+\frac{1}{243}-\frac{1}{1024}\approx 0,9718886638374486.

Passo 6

Verificação do erro e conclusão: pelo teorema do Passo 2 temos
|S - S_4| \le a_{5}=\frac{1}{5^{5}}=\frac{1}{3125}=0,00032<0,0005.
Logo a aproximação S_4 satisfaz a condição de erro pedida. Também podemos dar um intervalo para o valor real S:
0,9718886638374486-0,00032 < S < 0,9718886638374486+0,00032,
ou seja
0,9715686638374486 < S < 0,9722086638374486.

Resposta

0,9718886638374486

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