Questão: Obtenha uma aproximação com erro menor que 0,0005 da soma de cada série.
Passo 1
O que o enunciado pede: aproximar a soma da série
de forma que o erro da aproximação seja menor que
.
Informações dadas: os termos gerais são com sinal alternado
. Não há mais dados além disso.
Informações dadas: os termos gerais são
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (explicação didática): o Teorema da Estimativa para Séries Alternadas (também chamado de critério de Leibniz para restos).
- Enunciado simples do teorema: se
é uma sequência de números positivos, monotonicamente decrescente e com , então a série alternada converge, e o resto ao truncar depois de termos (ou seja, o erro ) satisfaz - Intuição: para uma série alternada cujos termos positivos vão decrescendo para zero, os termos que ficam “faltando” a partir do primeiro omitido têm sinal alternado e tamanho menor que o primeiro omitido; por isso o erro em tomar uma soma parcial fica limitado pelo valor do primeiro termo que deixamos de somar.
- Como usar na prática: escolher
tal que seja menor que a tolerância desejada. Aqui a tolerância é .
Passo 3
Verificar hipóteses do teorema para a nossa série:
- A sequência
é positiva para todo . - É monotonicamente decrescente porque
cresce, então decresce (se então e ). - Tem
.
Logo as hipóteses do teorema estão satisfeitas e vale a estimativa
.
Passo 4
Determinar quantos termos precisamos para garantir erro
.
Queremos
. Isto é equivalente a
Agora verificamos potências inteiras pequenas:
Como
e
, basta tomar
, ou seja
. Assim, a soma parcial com os primeiros
termos já garante erro
.
Passo 5
Calcular a soma parcial com
:
Calculemos termo a termo (com decimais para facilitar):
Somando na ordem indicada:
Portanto
Passo 6
Verificação do erro e conclusão: pelo teorema do Passo 2 temos
Logo a aproximação
satisfaz a condição de erro pedida. Também podemos dar um intervalo para o valor real
:
ou seja