Determine se a périe dada e’absolutamente convergente, condicionalmente convergente on divergente.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{\sqrt[3]{n}}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\ln n}{\sqrt[3]{n}}
e pede que se determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações claras do enunciado:
  • O termo geral é (-1)^{n}\dfrac{\ln n}{\sqrt[3]{n}}.
  • A parte positiva (módulo) é a_n=\dfrac{\ln n}{\sqrt[3]{n}}.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^{n}.
  • Precisamos analisar duas coisas separadas:
    1. Convergência absoluta: verificar se \sum_{n=1}^\infty a_n converge.
    2. Convergência da série alternada original: verificar se \sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n converge (mesmo que não seja absoluta).

Passo 2

Teste da convergência absoluta — analisar \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{\sqrt[3]{n}}.
Estratégia: usar o teste integral. Para isso consideramos a função contínua positiva
f(x)=\frac{\ln x}{x^{1/3}},\qquad x\ge 2,
e investigamos a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{1/3}}\,dx.
Se essa integral divergir, a série de termos positivos também diverge (teste integral).

Passo 3

Calcular a integral por partes.
Tomemos em \displaystyle\int \frac{\ln x}{x^{1/3}}\,dx a escolha
u=\ln x,\qquad dv=x^{-1/3}\,dx.
Então
du=\frac{dx}{x},\qquad v=\int x^{-1/3}\,dx=\frac{3}{2}x^{2/3}.
Aplicando integração por partes:
\int \frac{\ln x}{x^{1/3}}\,dx = uv-\int v\,du = \frac{3}{2}x^{2/3}\ln x - \int \frac{3}{2}x^{2/3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando a integral restante:
\int \frac{3}{2}x^{2/3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{3}{2}\int x^{-1/3}\,dx = \frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}x^{2/3}=\frac{9}{4}x^{2/3}.
Portanto a primitiva é
\int \frac{\ln x}{x^{1/3}}\,dx = \frac{3}{2}x^{2/3}\ln x - \frac{9}{4}x^{2/3}+C.

Passo 4

Analisar o comportamento quando x\to\infty.
Observe o termo dominante na primitiva: \dfrac{3}{2}x^{2/3}\ln x. Como x^{2/3} cresce polinomialmente e \ln x cresce sem limite, o produto x^{2/3}\ln x\to\infty quando x\to\infty. Assim
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln x}{x^{1/3}}\,dx = \lim_{R\to\infty}\left(\frac{3}{2}R^{2/3}\ln R - \frac{9}{4}R^{2/3}\right)-\text{(valor em 2)} = +\infty.
Logo a integral diverge.
Pelo teste integral, a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{\sqrt[3]{n}}
também diverge. Conclusão parcial: a série original não é absolutamente convergente.

Passo 5

Teste de convergência da série alternada — aplicar o critério de Leibniz.
O critério de Leibniz (série alternada) diz: se (a_n) é uma sequência de números positivos tais que
  1. a_n é monotonicamente decrescente a partir de algum N, e
  2. \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0,
    então a série alternada \sum (-1)^n a_n converge.
Aqui a_n=\dfrac{\ln n}{n^{1/3}}. Precisamos verificar as duas condições.
(i) Mostrar que a_n\to 0. Considere a função contínua f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{1/3}}. Calcule
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{1/3}}.
Usando a regra de L’Hôpital (numerador e denominador tendem a infinito ao tratar x\to\infty):
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{1/3}} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{\tfrac{1}{3}x^{-2/3}} =\lim_{x\to\infty}3x^{-1/3}=0.
Portanto \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.
(ii) Mostrar que a_n é (eventualmente) decrescente. Diferenciando a versão contínua:
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{-1/3}\ln x\right) = x^{-4/3}\left(-\frac{1}{3}\ln x +1\right).
O sinal de f'(x) é dado pelo fator -\dfrac{1}{3}\ln x +1. Para x tais que \ln x>3 (isto é, x>e^{3}\approx 20{,}085), temos -\dfrac{1}{3}\ln x +1<0, então f'(x)<0. Logo f é decrescente para x\ge 21, por exemplo. Assim a sequência a_n=f(n) é monotonicamente decrescente a partir de n=21.
Como a_n\to 0 e a_n é decrescente a partir de algum N, pelas condições do critério de Leibniz a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\ln n}{\sqrt[3]{n}}
converge.

Passo 6

Conclusão final combinando os resultados:
  • A série de valores absolutos diverge (portanto não é absolutamente convergente).
  • A série alternada converge pelo critério de Leibniz.
Logo a convergência é condicional: a série converge, mas não converge absolutamente.

Resposta

Condicionalmente convergente.

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