Determine se a périe dada e’absolutamente convergente, condicionalmente convergente on divergente.
.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que se determine se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações claras do enunciado:
- O termo geral é
. - A parte positiva (módulo) é
. - A série é alternada por causa do fator
. - Precisamos analisar duas coisas separadas:
- Convergência absoluta: verificar se
converge. - Convergência da série alternada original: verificar se
converge (mesmo que não seja absoluta).
- Convergência absoluta: verificar se
Passo 2
Teste da convergência absoluta — analisar
.
Estratégia: usar o teste integral. Para isso consideramos a função contínua positiva
e investigamos a integral imprópria
Se essa integral divergir, a série de termos positivos também diverge (teste integral).
Passo 3
Calcular a integral por partes.
Tomemos em
a escolha
Então
Aplicando integração por partes:
Simplificando a integral restante:
Portanto a primitiva é
Passo 4
Analisar o comportamento quando
.
Observe o termo dominante na primitiva:
. Como
cresce polinomialmente e
cresce sem limite, o produto
quando
. Assim
Logo a integral diverge.
Pelo teste integral, a série de termos positivos
também diverge. Conclusão parcial: a série original não é absolutamente convergente.
Passo 5
Teste de convergência da série alternada — aplicar o critério de Leibniz.
O critério de Leibniz (série alternada) diz: se
é uma sequência de números positivos tais que
-
é monotonicamente decrescente a partir de algum , e -
,
então a série alternadaconverge.
Aqui
. Precisamos verificar as duas condições.
(i) Mostrar que
. Considere a função contínua
. Calcule
Usando a regra de L’Hôpital (numerador e denominador tendem a infinito ao tratar
):
Portanto
.
(ii) Mostrar que
é (eventualmente) decrescente. Diferenciando a versão contínua:
O sinal de
é dado pelo fator
. Para
tais que
(isto é,
), temos
, então
. Logo
é decrescente para
, por exemplo. Assim a sequência
é monotonicamente decrescente a partir de
.
Como
e
é decrescente a partir de algum
, pelas condições do critério de Leibniz a série alternada
converge.
Passo 6
Conclusão final combinando os resultados:
- A série de valores absolutos diverge (portanto não é absolutamente convergente).
- A série alternada converge pelo critério de Leibniz.
Logo a convergência é condicional: a série converge, mas não converge absolutamente.
Resposta
Condicionalmente convergente.