Questão: Obtenha uma aproximação com erro menor que 0,0005 da soma de cada série.
.
Passo 1
O enunciado fornece a série
e pede: obter uma aproximação da soma com erro menor que
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A série é alternada (os sinais são dados por
). - Os termos de módulo são
. - Queremos um
(soma parcial) tal que , onde é a soma infinita.
Passo 2
Estratégia matemática que vou usar (explicando passo a passo como na prova). Existe um teorema muito útil para séries alternadas (teste de Leibniz) que diz o seguinte, e é perfeito aqui:
Se
é uma sequência de números positivos, monotonicamente decrescente (
) e
, então a série
converge. Além disso o resto (erro) após
termos satisfaz
Aqui aplicamos com
. Preciso verificar duas coisas rápidas:
-
para todo — óbvio pela forma. -
é decrescente e tende a . Para monotonicidade calcule a razão
para todo
. Logo
. Como
e
não anula esse efeito, segue
. Portanto as hipóteses do teorema valem e podemos usar o majorante do resto
.
Passo 3
Usando a desigualdade de erro, queremos escolher
tal que
Vamos calcular alguns
até que a desigualdade se cumpra (mostrar os cálculos para poder fazer na prova):
Aqui vemos que
. Portanto tomar
garante
Passo 4
Agora calculo a soma parcial
. Primeiro escrevo os sete primeiros termos explicitamente (cada termo mostrado como fração e decimal):
Faço a soma parcial organizando como fração para ficar exato. Somando as frações (mesmo denominador comum
) obtém-se
Em decimal isso é
Passo 5
Conclusão sobre erro e validade da aproximação. Pelo passo 3 temos
Logo
é uma aproximação da soma com erro estritamente menor que
. Portanto a aproximação pedida pode ser dada por
(ou por sua forma decimal arredondada dentro da tolerância).