Questão: Obtenha uma aproximação com erro menor que 0,0005 da soma de cada série.
\sum(-1)^{n} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado fornece a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}
e pede: obter uma aproximação da soma com erro menor que \,0,0005.
Informações relevantes que temos:
  • A série é alternada (os sinais são dados por (-1)^n).
  • Os termos de módulo são a_n=\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}.
  • Queremos um S_N (soma parcial) tal que |S-S_N|<0,0005, onde S é a soma infinita.

Passo 2

Estratégia matemática que vou usar (explicando passo a passo como na prova). Existe um teorema muito útil para séries alternadas (teste de Leibniz) que diz o seguinte, e é perfeito aqui:
Se (a_n) é uma sequência de números positivos, monotonicamente decrescente ( a_{n+1}\le a_n) e \lim_{n\to\infty}a_n=0, então a série \sum(-1)^n a_n converge. Além disso o resto (erro) após N termos satisfaz
|R_N| = \left|S - S_N\right| \le a_{N+1}.
Aqui aplicamos com a_n=\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}. Preciso verificar duas coisas rápidas:
  1. a_n>0 para todo n — óbvio pela forma.
  2. a_n é decrescente e tende a 0. Para monotonicidade calcule a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}}=\frac{n}{n+1}\cdot\frac{1}{2}<1
para todo n\ge1. Logo a_{n+1}<a_n. Como \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to0 e \dfrac{1}{n} não anula esse efeito, segue \lim_{n\to\infty}a_n=0. Portanto as hipóteses do teorema valem e podemos usar o majorante do resto |R_N|\le a_{N+1}.

Passo 3

Usando a desigualdade de erro, queremos escolher N tal que
a_{N+1}=\frac{1}{N+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{N+1}<0,0005.
Vamos calcular alguns a_n até que a desigualdade se cumpra (mostrar os cálculos para poder fazer na prova):
a_4=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{64}=0,015625
a_5=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}=\frac{1}{160}=0,00625
a_6=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{2}\right)^{6}=\frac{1}{384}\approx0,0026041667
a_7=\frac{1}{7}\left(\frac{1}{2}\right)^{7}=\frac{1}{896}\approx0,0011160714
a_8=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{8}=\frac{1}{2048}=0,00048828125
Aqui vemos que a_8\approx0,00048828125<0,0005. Portanto tomar N=7 garante
|S-S_{7}|\le a_{8}=0,00048828125<0,0005.

Passo 4

Agora calculo a soma parcial S_7. Primeiro escrevo os sete primeiros termos explicitamente (cada termo mostrado como fração e decimal):
\begin{aligned} t_1&=(-1)^1\frac{1}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^1=-\frac{1}{2}=-0,5,\\[4pt] t_2&=(-1)^2\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2=+\frac{1}{8}=0,125,\\[4pt] t_3&=(-1)^3\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3=-\frac{1}{24}\approx-0,0416666667,\\[4pt] t_4&=+\frac{1}{64}=0,015625,\\[4pt] t_5&=-\frac{1}{160}=-0,00625,\\[4pt] t_6&=+\frac{1}{384}\approx0,0026041667,\\[4pt] t_7&=-\frac{1}{896}\approx-0,0011160714. \end{aligned}
Faço a soma parcial organizando como fração para ficar exato. Somando as frações (mesmo denominador comum 13440) obtém-se
S_7=-\frac{5454}{13440}=-\frac{909}{2240}.
Em decimal isso é
S_7=-\frac{909}{2240}\approx-0,4058035714285714.]

Passo 5

Conclusão sobre erro e validade da aproximação. Pelo passo 3 temos
|S-S_7|\le a_8=\frac{1}{2048}=0,00048828125<0,0005.
Logo S_7 é uma aproximação da soma com erro estritamente menor que 0,0005. Portanto a aproximação pedida pode ser dada por S_7 (ou por sua forma decimal arredondada dentro da tolerância).

Resposta

-\dfrac{909}{2240}\approx-0,4058035714285714

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