Questão 2 Sabendo que
determine
.
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade
O que se pede explicitamente é: determinar
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A igualdade vale para todo
. - A função
é dada indiretamente: o valor de em um argumento do tipo é igual a . - Precisa-se o valor de
quando o argumento vale , ou seja, .
Passo 2
Estratégia básica (sem avançar demais ainda): é conveniente escrever
em função de
. Assim obtemos uma expressão geral de
em função de
e, depois, substituímos
.
Começamos definindo
Agora vamos relacionar potências de
e
com potências de
.
Passo 3
Calcule
e isole
.
Expandindo o quadrado:
Isolando
obtemos
Explicação curta do porquê: ao aplicar
com
e
, o termo
vira
.
Passo 4
Agora vamos obter
em função de
.
Use a expansão do cubo:
Agrupando:
Como
, isolamos
:
Comentário didático: usamos
. Com
os termos mistos se combinam para
.
Passo 5
Passo final para expressar
em função de
.
Observe que
Portanto
Substituindo a expressão encontrada no Passo 4:
Isto mostra que, para qualquer
que seja da forma
, vale
Passo 6
Agora calculamos
. Substitua
na expressão obtida:
Então
Pequena observação motivadora: se quiser confirmar numericamente, escolha um
tal que
(por exemplo
), calcule
e verá que dá
. Mas a identidade algébrica acima é suficiente e elegante.
Resposta
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