Questão 2 Sabendo que
f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{6}+\frac{1}{x^{6}} ; \forall x \in \mathbb{R}-\{0\},
determine f(3).

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade
f\!\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{6}+\frac{1}{x^{6}}\quad\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
O que se pede explicitamente é: determinar f(3).
Informações relevantes fornecidas:
  • A igualdade vale para todo x\neq0.
  • A função f é dada indiretamente: o valor de f em um argumento do tipo x+\dfrac{1}{x} é igual a x^{6}+\dfrac{1}{x^{6}}.
  • Precisa-se o valor de f quando o argumento vale 3, ou seja, f(3).

Passo 2

Estratégia básica (sem avançar demais ainda): é conveniente escrever x^{6}+\dfrac{1}{x^{6}} em função de S:=x+\dfrac{1}{x}. Assim obtemos uma expressão geral de f em função de S e, depois, substituímos S=3.
Começamos definindo
S := x+\frac{1}{x}.
Agora vamos relacionar potências de x e x^{-1} com potências de S.

Passo 3

Calcule S^{2} e isole x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}.
Expandindo o quadrado:
S^{2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}=x^{2}+2+ \frac{1}{x^{2}}.
Isolando x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}} obtemos
x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=S^{2}-2.
Explicação curta do porquê: ao aplicar (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} com a=x e b=x^{-1}, o termo 2ab vira 2.

Passo 4

Agora vamos obter x^{3}+\dfrac{1}{x^{3}} em função de S.
Use a expansão do cubo:
S^{3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3}=x^{3}+3x+3\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{3}}.
Agrupando:
S^{3}= \bigl(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\bigr) + 3\bigl(x+\frac{1}{x}\bigr).
Como x+\dfrac{1}{x}=S, isolamos x^{3}+\dfrac{1}{x^{3}}:
x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=S^{3}-3S.
Comentário didático: usamos (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}. Com b=x^{-1} os termos mistos se combinam para 3(x+x^{-1}).

Passo 5

Passo final para expressar x^{6}+\dfrac{1}{x^{6}} em função de S.
Observe que
\bigl(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\bigr)^{2}=x^{6}+2+\frac{1}{x^{6}}.
Portanto
x^{6}+\frac{1}{x^{6}}=\left(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}\right)^{2}-2.
Substituindo a expressão encontrada no Passo 4:
x^{6}+\frac{1}{x^{6}}=\bigl(S^{3}-3S\bigr)^{2}-2.
Isto mostra que, para qualquer S que seja da forma x+\dfrac{1}{x}, vale
f(S)=\bigl(S^{3}-3S\bigr)^{2}-2.

Passo 6

Agora calculamos f(3). Substitua S=3 na expressão obtida:
S^{3}=3^{3}=27, \qquad S^{3}-3S=27-3\cdot 3=27-9=18.
Então
f(3)=\bigl(18\bigr)^{2}-2=324-2=322.
Pequena observação motivadora: se quiser confirmar numericamente, escolha um x tal que x+\dfrac{1}{x}=3 (por exemplo x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}), calcule x^{6}+\dfrac{1}{x^{6}} e verá que dá 322. Mas a identidade algébrica acima é suficiente e elegante.

Resposta

322

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