Questão 2: \operatorname{Sejam} T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} o operador linear definido por T(x, y)=(x+3 y,-x+5 y) e B=\{(1,1),(-1,0)\} uma base de \mathbb{R}^{2}.
a) Encontre [T] e [T]_{B}.
b) Sabendo que [I]_{B}^{A}=\left[\begin{array}{ll}6 & 6 \\\\ 5 & 6\end{array}\right], determinar a base A.
c) Mostrar que T é um isomorfismo e determinar a fórmula de T^{-1}.
d) Encontre os autovalores de T.
e) Encontre os autovetores de T.
f) Encontre a matriz diagonalizante P de [T] e verifique que P^{-1}[T] P é uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y)=(x+3y,\,-x+5y).
  • A base B=\{(1,1),\,(-1,0)\}.
  • A matriz de mudança de base [I]_{B}^{A}=\begin{pmatrix}6 & 6\\[4pt]5 & 6\end{pmatrix} (matriz que transforma coordenadas em A para coordenadas em B: [v]_B=[I]_B^A\,[v]_A).
As perguntas pedem:
a) Encontrar [T] (matriz de T na base canônica) e [T]_B (matriz de T na base B).
b) Determinar a base A sabendo [I]_B^A.
c) Mostrar que T é isomorfismo e encontrar T^{-1} (fórmula explícita).
d) Encontrar os autovalores de T.
e) Encontrar os autovetores de T.
f) Encontrar uma matriz P que diagonaliza [T] e verificar que P^{-1}[T]P é diagonal.]

Passo 2

Construção de [T] (matriz na base canônica).
  • Regra: a matriz de um operador linear na base canônica tem colunas T(e_1) e T(e_2), onde e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
  • Calcular:
T(e_1)=T(1,0)=(1+3\cdot0,\,-1+5\cdot0)=(1,-1),
T(e_2)=T(0,1)=(0+3,\,-0+5)=(3,5).
  • Portanto, a matriz de T na base canônica é
[T]=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 3

Como obter [T]_B (matriz de T na base B).
  • Ideia/teoria: se P é a matriz cujas colunas são os vetores da base B escritos na base canônica, então
[T]_B = P^{-1}[T]P.
  • Construir P: colunas são os vetores de B em coordenadas canônicas: b_1=(1,1), b_2=(-1,0). Assim
P=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
  • Calcular P^{-1}. Determinante de P é 1, e
P^{-1}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo explícito de [T]_B.
  • Primeiro calcule [T]P:
[T]P=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & -1\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix}.
  • Agora multiplique P^{-1}([T]P):
[T]_B = P^{-1}[T]P=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4 & -1\\[4pt]4 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação de [I]_B^A para achar a base A.
  • Teoria: [I]_B^A transforma coordenadas em A para coordenadas em B. Suas colunas são as coordenadas dos vetores da base A expressos em B.
  • Portanto, se [I]_B^A=\begin{pmatrix}6 & 6\\[4pt]5 & 6\end{pmatrix}, então:
    • a primeira coluna \begin{pmatrix}6\\[4pt]5\end{pmatrix} são as coordenadas de a_1 na base B: a_1=6b_1+5b_2.
    • a segunda coluna \begin{pmatrix}6\\[4pt]6\end{pmatrix} são as coordenadas de a_2 na base B: a_2=6b_1+6b_2.]

Passo 6

Calcular os vetores da base A em coordenadas canônicas.
  • Lembrando b_1=(1,1) e b_2=(-1,0),
a_1=6b_1+5b_2 = 6(1,1)+5(-1,0)=(6-5,\,6+0)=(1,6),
a_2=6b_1+6b_2 = 6(1,1)+6(-1,0)=(6-6,\,6+0)=(0,6).
  • Assim A=\{(1,6),\,(0,6)\}.

Passo 7

Mostrar que T é isomorfismo.
  • Teoria: um operador linear em \mathbb{R}^2 é isomorfismo (injetivo e sobrejetivo) se e só se sua matriz na base canônica tem determinante não nulo.
  • Calcular determinante de [T]:
\det([T])=\det\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix}=1\cdot5-3\cdot(-1)=5+3=8\neq0.
  • Como o determinante é diferente de zero, T é inversível, logo é um isomorfismo.]

Passo 8

Encontrar a fórmula de T^{-1}.
  • Método: resolver o sistema linear (u,v)=T(x,y)=(x+3y,\,-x+5y) para x,y em termos de u,v.
  • Escrevendo o sistema:
u=x+3y,\qquad v=-x+5y.
  • Somando as duas equações:
u+v = (x+3y)+(-x+5y)=8y \quad\Rightarrow\quad y=\frac{u+v}{8}.
  • Substituindo em u=x+3y:
x=u-3y=u-3\frac{u+v}{8}=\frac{8u-3u-3v}{8}=\frac{5u-3v}{8}.
  • Portanto, para um vetor (u,v),
T^{-1}(u,v)=\left(\frac{5u-3v}{8},\;\frac{u+v}{8}\right).

Passo 9

Encontrar os autovalores de T.
  • Teoria: autovalores são raízes do polinômio característico \det([T]-\lambda I)=0.
  • Calcular:
\det\!\left(\begin{pmatrix}1-\lambda & 3\\[4pt]-1 & 5-\lambda\end{pmatrix}\right)=(1-\lambda)(5-\lambda)-3(-1)
=(1-\lambda)(5-\lambda)+3=\lambda^2-6\lambda+8.
  • Resolver \lambda^2-6\lambda+8=0. Fatorando:
\lambda^2-6\lambda+8=(\lambda-2)(\lambda-4).
  • Logo os autovalores são \lambda_1=2 e \lambda_2=4.]

Passo 10

Encontrar autovetores correspondentes a \lambda=2.
  • Resolver ([T]-2I)v=0:
\begin{pmatrix}1-2 & 3\\[4pt]-1 & 5-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 3\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.
  • A equação é -x+3y=0, isto é x=3y. Tomando y=1 obtemos um autovetor v_1=(3,1).
  • Portanto os autovetores associados a \lambda=2 são todos os múltiplos de (3,1).]

Passo 11

Encontrar autovetores correspondentes a \lambda=4.
  • Resolver ([T]-4I)v=0:
\begin{pmatrix}1-4 & 3\\[4pt]-1 & 5-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 3\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}.
  • A equação é -3x+3y=0 ou x=y. Tomando x=1 obtemos v_2=(1,1).
  • Portanto os autovetores associados a \lambda=4 são todos os múltiplos de (1,1).]

Passo 12

Construir P (matriz de autovetores) e verificar a diagonalização.
  • Escolher como colunas de P autovetores linearmente independentes correspondentes aos autovalores na ordem desejada (por exemplo coluna 1 para \lambda=2, coluna 2 para \lambda=4):
P=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
  • Calcular [T]P:
[T]P=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6 & 4\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}.
  • Observar que [T]P = P\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix} porque as colunas de [T]P são 2\cdot(3,1) e 4\cdot(1,1).
  • Assim P^{-1}[T]P=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}, matriz diagonal com os autovalores na diagonal.
  • (Opcional cálculo do inverso) \det(P)=2 e
P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix},
e verificando explicitamente P^{-1}[T]P=\operatorname{diag}(2,4).]

Resposta

a) [T]=\displaystyle\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]-1 & 5\end{pmatrix}, [T]_B=\displaystyle\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}
b) A=\{(1,6),\,(0,6)\}
c) T é isomorfismo (pois \det([T])=8\neq0). T^{-1}(u,v)=\left(\frac{5u-3v}{8},\;\frac{u+v}{8}\right).
d) Autovalores: \lambda=2 e \lambda=4
e) Autovetores: para \lambda=2 todos os múltiplos de (3,1); para \lambda=4 todos os múltiplos de (1,1).
f) Uma matriz P que diagonaliza é P=\displaystyle\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} e
P^{-1}[T]P=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 4\end{pmatrix}.]

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