Questão 2: \operatorname{Sejam} T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} o operador linear definido por T(x, y)=(x+3 y,-x+5 y) e B=\{(1,1),(-1,0)\} uma base de \mathbb{R}^{2}.
a) Encontre [T] e [T]_{B}.
b) Sabendo que [I]_{B}^{A}=\left[\begin{array}{ll}6 & 6 \\\\ 5 & 6\end{array}\right], determinar a base A.
c) Mostrar que T é um isomorfismo e determinar a fórmula de T^{-1}.
d) Encontre os autovalores de T.
e) Encontre os autovetores de T.
f) Encontre a matriz diagonalizante P de [T] e verifique que P^{-1}[T] P é uma matriz diagonal.
Passo 1
O enunciado dá:
Um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
T(x,y)=(x+3y,\,-x+5y).
A base B=\{(1,1),\,(-1,0)\}.
A matriz de mudança de base [I]_{B}^{A}=\begin{pmatrix}6 & 6\\[4pt]5 & 6\end{pmatrix} (matriz que transforma coordenadas em A para coordenadas em B: [v]_B=[I]_B^A\,[v]_A).
As perguntas pedem:
a) Encontrar [T] (matriz de T na base canônica) e [T]_B (matriz de T na base B).
b) Determinar a base A sabendo [I]_B^A.
c) Mostrar que T é isomorfismo e encontrar T^{-1} (fórmula explícita).
d) Encontrar os autovalores de T.
e) Encontrar os autovetores de T.
f) Encontrar uma matriz P que diagonaliza [T] e verificar que P^{-1}[T]P é diagonal.]
Passo 2
Construção de [T] (matriz na base canônica).
Regra: a matriz de um operador linear na base canônica tem colunas T(e_1) e T(e_2), onde e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
A equação é -3x+3y=0 ou x=y. Tomando x=1 obtemos v_2=(1,1).
Portanto os autovetores associados a \lambda=4 são todos os múltiplos de (1,1).]
Passo 12
Construir P (matriz de autovetores) e verificar a diagonalização.
Escolher como colunas de P autovetores linearmente independentes correspondentes aos autovalores na ordem desejada (por exemplo coluna 1 para \lambda=2, coluna 2 para \lambda=4):