Considere as seguintes retas
r: \frac{x-2}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-5}{4} \quad s:\left\{\begin{array}{l} x=5+\lambda \\\ y=2-\lambda \\\ z=7-2 \lambda \end{array} \quad \lambda \in \mathbb{R}\right.
a) (Valor: 1,5) Mostre que as retas são concorrentes e determine o ponto de interseção.
b) (Valor: 1,5) Determine a equação geral do plano que contém as duas retas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3:
  • Reta r em forma simétrica:
r: \frac{x-2}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-5}{4}.
  • Reta s em forma paramétrica:
s:\left\{\begin{array}{l} x=5+\lambda\\[4pt] y=2-\lambda\\[4pt] z=7-2\lambda \end{array}\quad \lambda\in\mathbb{R}\right.
O enunciado pede duas coisas:
a) Mostrar que as retas são concorrentes e determinar o ponto de interseção (ou seja, mostrar que existe um ponto comum e encontrar suas coordenadas).
b) Determinar a equação geral do plano que contém ambas as retas (ou seja, a equação do plano que passa pelo ponto de interseção e que contém as direções de r e s).]

Passo 2

Parametrização da reta [r) a partir da forma simétrica e identificação dos vetores diretores.
Como a igualdade \dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z-5}{4} significa que existe um parâmetro t\in\mathbb{R} tal que
\frac{x-2}{2}= \frac{y}{3}= \frac{z-5}{4}=t,
podemos escrever a parametrização da reta r substituindo cada fração por t:
\begin{cases} x=2+2t,\\[4pt] y=3t,\\[4pt] z=5+4t. \end{cases}
Portanto:
  • um ponto de r\] quando \(t=0 é P_r=(2,0,5);
  • o vetor diretor de r é \mathbf{v}_r=(2,3,4) (coeficientes de t).
Para s, a parametrização já está dada com \lambda; um ponto quando \lambda=0 é P_s=(5,2,7) e o vetor diretor de s é \mathbf{v}_s=(1,-1,-2).]

Passo 3

Procurar interseção: resolver o sistema obtido igualando as coordenadas das parametrizações.
Um ponto comum deve satisfazer as três equações simultaneamente. Igualando as coordenadas das parametrizações de r\) (com parâmetro \(t\)) e de \(s\) (com parâmetro \(\lambda\)): \[\begin{cases} 2+2t = 5+\lambda,\\[4pt] 3t = 2-\lambda,\\[4pt] 5+4t = 7-2\lambda. \end{cases}
Da primeira equação isolamos (\lambda]:
\lambda = 2+2t -5 = 2t-3.
Substituímos esse \lambda na segunda equação:
3t = 2 - (2t-3).
Calcule o lado direito:
2 - (2t-3)=2-2t+3=5-2t.
Logo
3t = 5-2t \quad\Rightarrow\quad 5t=5 \quad\Rightarrow\quad t=1.
Com t=1 temos
\lambda = 2t-3 = 2\cdot1-3 = -1.
Verificação com a terceira equação: para t=1 o lado esquerdo é 5+4\cdot1=9. Para \lambda=-1 o lado direito é 7-2(-1)=7+2=9. Então a terceira equação é satisfeita também. Portanto existe um ponto comum.]

Passo 4

Determinar as coordenadas do ponto de interseção e concluir concorrência.
Com t=1 (usando parametrização de r) obtemos o ponto
P=(x,y,z)=(2+2\cdot1,\;3\cdot1,\;5+4\cdot1)=(4,3,9).
Como esse mesmo ponto é obtido em s com \lambda=-1, as retas são concorrentes e o ponto de interseção é P=(4,3,9).
Breve comentário intuitivo: “concorrentes” significa que existe exatamente um ponto comum; encontramos esse ponto resolvendo o sistema das coordenadas.

Passo 5

Verificar que as direções das retas não são colineares e escolher método para achar o plano.
Os vetores diretores já identificados são
\mathbf{v}_r=(2,3,4),\qquad \mathbf{v}_s=(1,-1,-2).
Para formar um plano que contenha ambas as retas precisamos de um vetor normal \mathbf{n} ao plano. Se as direções \mathbf{v}_r e \mathbf{v}_s fossem colineares (um múltiplo escalar do outro) então as retas seriam coincidentes ou paralelas; aqui claramente não são múltiplos: não existe k tal que (2,3,4)=k(1,-1,-2) (porque k=2 daria 3\neq -2). Portanto \mathbf{v}_r e \mathbf{v}_s são linearmente independentes e definem um plano único.

Passo 6

Explicar e calcular o produto vetorial para obter o vetor normal ao plano.
Aula curta: o produto vetorial (ou cross product) entre dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} em \mathbb{R}^3, denotado \mathbf{a}\times\mathbf{b}, produz um vetor perpendicular (normal) a ambos. Pode ser calculado usando o determinante de uma matriz 3\times3 com a base canônica na primeira linha:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},
que resulta no vetor (a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1).
Aplicando aos nossos vetores:
\mathbf{n}=\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 2 & 3 & 4\\[4pt] 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}.
Calcule componente a componente:
  • componente x: 3\cdot(-2)-4\cdot(-1) = -6+4 = -2,
  • componente y: 4\cdot1-2\cdot(-2) = 4+4 = 8 (lembre do sinal ao calcular o determinante, o segundo componente já sai com sinal positivo por essa fórmula),
  • componente z: 2\cdot(-1)-3\cdot1 = -2-3 = -5.
Logo um vetor normal é
\mathbf{n}=(-2,\,8,\,-5).
Observação: qualquer múltiplo escalar de \mathbf{n} também é normal; poderíamos usar (2,-8,5) se preferirmos.]

Passo 7

Formar a equação do plano usando o vetor normal e o ponto de interseção.
A equação vetorial do plano com normal \mathbf{n}=(A,B,C) que passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) é
\mathbf{n}\cdot\big((x,y,z)-P_0\big)=0,
ou seja
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Aqui usamos \mathbf{n}=(-2,8,-5) e P=(4,3,9). Então:
-2(x-4)+8(y-3)-5(z-9)=0.
Expandindo:
-2x+8 +8y-24 -5z+45=0.
Agrupando termos:
-2x+8y-5z+(8-24+45)=0 \quad\Rightarrow\quad -2x+8y-5z+29=0.
Podemos multiplicar por -1 para uma forma talvez mais usual:
2x-8y+5z-29=0.
Ambas as formas são equivalentes; esta é a equação geral do plano que contém r e s.

Resposta

a) P=(4,3,9)
b) Uma equação do plano que contém r e s é -2x+8y-5z+29=0 (equivalente a 2x-8y+5z-29=0).

Exercícios relacionados