Em relação as retas
r:\left\{\begin{array}{l} x=\lambda \\\ y=3-2 \lambda \\\ z=-2+\lambda \end{array} \quad \lambda \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad s:\left\{y=\frac{z+1}{-1} ; \quad x=4\right.\right.
Determine:
a) (Valor: \mathbf{1 , 0} ) a posição relativa entre as retas.
b) (Valor: \mathbf{1 , 0} ) o ângulo formado entre as retas.
c) (Valor: 1,5) a distância entre as retas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço e pede três coisas:
  • a) posição relativa entre as retas (se são paralelas, concorrentes, ou reversas);
  • b) o ângulo formado entre as retas;
  • c) a distância entre as retas.
Informações fornecidas (escrevo exatamente o que o enunciado deu):
  • Reta r\) parametrizada por \(\lambda\): \[r:\begin{cases} x=\lambda\\[4pt] y=3-2\lambda\\[4pt] z=-2+\lambda \end{cases},\qquad \lambda\in\mathbb{R}.
  • Reta s\] dada por \(x=4 e y=\dfrac{z+1}{-1}. Reescrevendo a segunda relação:
y=-(z+1)= -z-1.
Perguntas a responder:
  • a) qual é a posição relativa entre r e s;
  • b) qual é o ângulo entre r e s;
  • c) qual é a distância entre r e s.]

Passo 2

Vou parametrizar a reta s\) e extrair vetores diretores e pontos de referência de ambas as retas (é o ponto de partida para tudo). - Para \(r\) já está explícito: um vetor diretor de \(r\) é \[\mathbf{v}_r=(1,\,-2,\,1),
pois ao variar \lambda as componentes crescem como 1,\,-2,\,1. Um ponto de r (pegando \lambda=0) é
P=(0,\,3,\,-2).
  • Para s tomo um parâmetro t definindo z=t. Então y=-t-1 e x=4. Assim a parametrização de s é
s:\begin{cases} x=4\\[4pt] y=-t-1\\[4pt] z=t \end{cases},\qquad t\in\mathbb{R}.
Dessa parametrização, o vetor diretor de s\] é \[\mathbf{v}_s=(0,\,-1,\,1),\] e um ponto de \(s (pegando t=0) é
Q=(4,\,-1,\,0).]

Passo 3

Testo se são paralelas: duas retas são paralelas se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Verifico se existe \mu tal que \mathbf{v}_r=\mu\mathbf{v}_s.
  • \mathbf{v}_r=(1,-2,1) e \mathbf{v}_s=(0,-1,1). Para serem múltiplos, a primeira componente exigiria \mu\cdot 0=1, o que é impossível. Logo não são paralelas.

Passo 4

Testo se se intersectam (concorrentes): procuro \lambda e t tais que as coordenadas coincidam.
  • Igualando x: \lambda=4.
  • Com \lambda=4, o ponto em r é
(4,\;3-2\cdot 4,\;-2+4)=(4,\;-5,\;2).
  • Para estar em s com x=4 precisamos ter algum t com z=t=2 e y=-t-1=-2-1=-3. Mas o ponto de r correspondente tem y=-5, que não é igual a -3. Portanto não existe (\lambda,t) que faça as três coordenadas simultaneamente iguais.
    Conclusão: as retas não se intersectam e também não são paralelas → são retas reversas (skew lines): não coplanares, não concorrentes nem paralelas.

Passo 5

Ángulo entre as retas: o ângulo entre duas retas é o ângulo entre seus vetores diretores. Uso a fórmula do produto escalar.
  • Fórmula: para vetores \mathbf{a} e \mathbf{b},
\cos\theta=\frac{|\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}|}{\|\mathbf{a}\|\;\|\mathbf{b}\|},
onde \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar e \|\cdot\| norma (comprimento) do vetor. Uso valor absoluto para obter o ângulo agudo entre as retas.
  • Calculo o produto escalar:
\mathbf{v}_r\cdot\mathbf{v}_s = (1)(0)+(-2)(-1)+(1)(1)=0+2+1=3.
  • Normas:
\|\mathbf{v}_r\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6},
\|\mathbf{v}_s\|=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
  • Então
\cos\theta=\frac{3}{\sqrt{6}\,\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}.
Simplificando:
\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo \cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, o que dá
\theta=\frac{\pi}{6}\quad\text{(ou }30^\circ\text{)}.

Passo 6

Distância entre retas reversas: usarei a fórmula baseada em produto misto e produto vetorial. Explico a ideia e aplico:
  • Fórmula: se \mathbf{a} é vetor diretor de uma reta e \mathbf{b} de outra, P ponto em uma reta e Q ponto na outra, a distância entre as retas é
d=\frac{\big|(\overrightarrow{PQ})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\big|}{\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|},
onde \overrightarrow{PQ}=Q-P, \mathbf{a}\times\mathbf{b} é o produto vetorial e o numerador é o valor absoluto do produto escalar entre \overrightarrow{PQ} e o produto vetorial (esse numerador é o volume do paralelepípedo formado, dando a componente perpendicular).
  • Aplico com P=(0,3,-2) (ponto em r) e Q=(4,-1,0) (ponto em s), \mathbf{a}=\mathbf{v}_r=(1,-2,1), \mathbf{b}=\mathbf{v}_s=(0,-1,1).
  • Primeiro \overrightarrow{PQ}=Q-P=(4-0,\,-1-3,\,0-(-2))=(4,\,-4,\,2).
  • Calculo \mathbf{a}\times\mathbf{b}:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & -2 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} =(-1,\,-1,\,-1).
  • Norma do produto vetorial:
\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{3}.
  • Produto escalar (\overrightarrow{PQ})\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}):
(4,\,-4,\,2)\cdot(-1,\,-1,\,-1)=4(-1)+(-4)(-1)+2(-1)=-4+4-2=-2.
Valor absoluto é |-2|=2.
  • Portanto a distância é
d=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Racionalizando (opcional):
d=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.]

Resposta

a) Retas reversas (não paralelas e não concorrentes).
b) \theta=\dfrac{\pi}{6} (ou 30^\circ).
c) d=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.

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