Determine:
a) (Valor: \mathbf{1 , 0} ) a posição relativa entre as retas.
b) (Valor: \mathbf{1 , 0} ) o ângulo formado entre as retas.
c) (Valor: 1,5) a distância entre as retas.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço e pede três coisas:
a) posição relativa entre as retas (se são paralelas, concorrentes, ou reversas);
b) o ângulo formado entre as retas;
c) a distância entre as retas.
Informações fornecidas (escrevo exatamente o que o enunciado deu):
Reta s\] dada por \(x=4 e y=\dfrac{z+1}{-1}. Reescrevendo a segunda relação:
y=-(z+1)= -z-1.
Perguntas a responder:
a) qual é a posição relativa entre r e s;
b) qual é o ângulo entre r e s;
c) qual é a distância entre r e s.]
Passo 2
Vou parametrizar a reta s\) e extrair vetores diretores e pontos de referência de ambas as retas (é o ponto de partida para tudo).
- Para \(r\) já está explícito: um vetor diretor de \(r\) é
\[\mathbf{v}_r=(1,\,-2,\,1),
pois ao variar \lambda as componentes crescem como 1,\,-2,\,1. Um ponto de r (pegando \lambda=0) é
P=(0,\,3,\,-2).
Para s tomo um parâmetro t definindo z=t. Então y=-t-1 e x=4. Assim a parametrização de s é
Dessa parametrização, o vetor diretor de s\] é
\[\mathbf{v}_s=(0,\,-1,\,1),\]
e um ponto de \(s (pegando t=0) é
Q=(4,\,-1,\,0).]
Passo 3
Testo se são paralelas: duas retas são paralelas se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Verifico se existe \mu tal que \mathbf{v}_r=\mu\mathbf{v}_s.
\mathbf{v}_r=(1,-2,1) e \mathbf{v}_s=(0,-1,1). Para serem múltiplos, a primeira componente exigiria \mu\cdot 0=1, o que é impossível. Logo não são paralelas.
Passo 4
Testo se se intersectam (concorrentes): procuro \lambda e t tais que as coordenadas coincidam.
Igualando x: \lambda=4.
Com \lambda=4, o ponto em r é
(4,\;3-2\cdot 4,\;-2+4)=(4,\;-5,\;2).
Para estar em s com x=4 precisamos ter algum t com z=t=2 e y=-t-1=-2-1=-3. Mas o ponto de r correspondente tem y=-5, que não é igual a -3. Portanto não existe (\lambda,t) que faça as três coordenadas simultaneamente iguais.
Conclusão: as retas não se intersectam e também não são paralelas → são retas reversas (skew lines): não coplanares, não concorrentes nem paralelas.
Passo 5
Ángulo entre as retas: o ângulo entre duas retas é o ângulo entre seus vetores diretores. Uso a fórmula do produto escalar.
onde \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} é o produto escalar e \|\cdot\| norma (comprimento) do vetor. Uso valor absoluto para obter o ângulo agudo entre as retas.
onde \overrightarrow{PQ}=Q-P, \mathbf{a}\times\mathbf{b} é o produto vetorial e o numerador é o valor absoluto do produto escalar entre \overrightarrow{PQ} e o produto vetorial (esse numerador é o volume do paralelepípedo formado, dando a componente perpendicular).
Aplico com P=(0,3,-2) (ponto em r) e Q=(4,-1,0) (ponto em s), \mathbf{a}=\mathbf{v}_r=(1,-2,1), \mathbf{b}=\mathbf{v}_s=(0,-1,1).
Primeiro \overrightarrow{PQ}=Q-P=(4-0,\,-1-3,\,0-(-2))=(4,\,-4,\,2).