Questão 3.

Um órgão do governo do estado está interessado em determinar padrões sobre o investimento em educação, por habitante, realizado pelas prefeituras. De um levantamento de dez cidades, foram obtidos os valores (codificados) da tabela abaixo:
ccccccccccc Cidade & A & B & C & D & E & F & G & H & I & J Investimento & 25 & 16 & 14 & 10 & 19 & 15 & 19 & 16 & 19 & 18

ET - 101 - Estatística 1

Lista de exercícios

(a) Calcule a média, mediana, desvio padrão e coeficiente de variação das observações.
(b) Receberão um programa especial as cidades com valores de investimento inferiores à média menos duas vezes o desvio padrão. Alguma cidade receberá o programa?
(c) Será considerado como investimento básico a média das observações compreendidas entre a média original menos dois desvios padrão e a média original mais dois desvios padrão. Calcule o investimento básico e compare com a média obtida no item a). Justifique a diferença encontrada
(d) Qual é o intervalo inter-quartil para esse conjunto de dados?

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos os investimentos por habitante em dez cidades:
25,,16,,14,,10,,19,,15,,19,,16,,19,,18
O conteúdo é Estatística Descritiva. Vamos calcular no item (a) média, mediana, desvio-padrão e coeficiente de variação; no (b) verificar cidades com investimento abaixo de bar x - 2sigma; no (c) definir investimento básico como a média das observações em [bar x-2sigma, bar x+2sigma] e comparar com bar x; e no (d) achar o intervalo interquartil.

Passo 2

Calcular média e mediana.
A soma dos valores é
sumi=1^10 xi = 171,
logo a média é
bar x = 17110 = 17,1
Ordenando os dados:
10,,14,,15,,16,,16,,18,,19,,19,,19,,25,
a mediana, sendo a média entre o 5º e o 6º valor, é
Mediana = 16 + 182 = 17

Passo 3

Calcular o desvio-padrão populacional e o coeficiente de variação.
Primeiro computamos
sumi=1^10 (xi - bar x)^2 = 140,9
O desvio-padrão populacional é
sigma = raiz1nsumi=1^n (xi - bar x)^2 = raiz140,910 approx 3,75
O coeficiente de variação é
CV = sigmabar x = 3,7517,1 approx 0,2194approx 21,94%

Passo 4

Item (b): nenhuma cidade recebe o programa se xi < bar x - 2sigma.
Calculamos
bar x - 2sigma = 17,1 - 2cdot 3,75 = 9,6
O menor investimento é 10>9,6, logo nenhuma cidade fica abaixo desse limite.

Passo 5

Item (c): o investimento básico é a média dos xi tais que
9,6 <= xi <= 17,1 + 2cdot 3,75 = 24,6
Apenas 25 está fora desse intervalo (acima de 24,6), então excluímo-lo e calculamos
bar xbásico = 171 - 259 = 1469 approx 16,22 á
Comparando com bar x=17,1, o investimento básico é menor porque retiramos o valor extremo 25, que inflacionava a média original.

Passo 6

Item (d): intervalo interquartil.
Com os dados ordenados em dois grupos de cinco (excluindo-se a mediana), temos
  • Quartil 1 ( Q1) é a mediana de 10,14,15,16,16, ou seja 15.
  • Quartil 3 ( Q3) é a mediana de 18,19,19,19,25, ou seja 19.
    Portanto o intervalo interquartil é
[Q1,,Q3] = [15,,19],
e IQR = Q3 - Q1 = 4

Resposta

(a) bar x=17,1; Mediana =17; sigmaapprox3,75; CVapprox21,94%.
(b) Nenhuma cidade recebe o programa.
(c) Investimento básico approx16,22, menor que bar x porque excluímos o valor extremo.
(d) Intervalo interquartil [15,,19], IQR=4.

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