Exercício 8. Os dados abaixo correspondem às variáveis: número de faltas e a nota final em uma determinada disciplina de uma amostra de 6 alunos.
0 1 3 5 6 7
98 86 77 68 67 56
a) Determine as estimativas dos parâmetros da regressão linear simples (modelo: ), apresente a regressão (equação) ajustada, trace a reta no diagrama de dispersão e calcule o coeficiente de determinação. Apresente os calculos para SQDx, SPDxy, SQReg e SQTotal. (Utilize pelo menos 4 casas decimais). Resposta:
b) Interprete a estimativa obtida para e para .

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=6 com variáveis X (número de faltas) e Y (nota final). Queremos ajustar o modelo de regressão linear simples
Yi = beta0 + beta1 Xi + ei
e calcular as estatísticas principais: bar X,bar Y, SQDx,SPDxy, SQReg,SQTotal e o coeficiente de determinação R^2.

Passo 2

Calcular as médias
bar X = sum Xin = 226 = 3,6667, bar Y = sum Yin = 4526 = 75,3333

Passo 3

Calcular
SQDx = sumi=1^6(Xi - bar X)^2 = sum Xi^2 - (sum Xi)^2n =120 - 22^26 =39,3333,
e
SPDxy = sumi=1^6(Xi - bar X)(Yi - bar Y) = sum XiYi - (sum Xi)(sum Yi)n =1451 - 22cdot4526 =-206,3333

Passo 4

Estimar os parâmetros usando
hatbeta1 = SPDxySQDx = -206,333339,3333 =-5,2458,
hatbeta0 = bar Y - hatbeta1,bar X =75,3333 -(-5,2458)(3,6667) =94,5678

Passo 5

A reta de regressão ajustada é
hat Y = 94,5678 ;-;5,2458,X
No diagrama de dispersão, ela intercepta o eixo Y em (0,94,5678) e desce com inclinação -5,2458.

Passo 6

Calcular a soma total de quadrados
SQTotal = sum(Yi - bar Y)^2 = sum Yi^2 - (sum Yi)^2n =35178 - 452^26 =1127,3333,
e a soma da regressão
SQReg = hatbeta1;SPDxy =(-5,2458)times(-206,3333) =1082,3655
Logo o coeficiente de determinação é
R^2 = SQRegSQTotal = 1082,36551127,3333 =0,9601 l(96,0120%r)

Passo 7

Interpretação de hatbeta1: para cada falta a mais, a nota final média cai aproximadamente 5,2458 pontos.

Passo 8

Interpretação de R^2: cerca de 96,01% da variação das notas é explicada pelo número de faltas.

Resposta

(a) hat Y =94,5678 ;-;5,2458,X, com
SQDx=39,3333,
SPDxy=-206,3333,
SQReg=1082,3655,
SQTotal=1127,3333,
R^2=96,0120%.
(b) hatbeta1=-5,2458 indica que cada falta adicional reduz a nota média em 5,2458 pontos;
R^2=96,0120% mostra que a maior parte da variação das notas é explicada pelo número de faltas.

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