Questão 7) Um oscilador massa-mola, com período de oscilação natural
Encontre a resposta em deslocamento do sistema resolvendo numericamente a integral de convolução entre a força externa aplicada e a resposta ao impulso do sistema. Apresente, graficamente, o fator de amplificação dinâmica do sistema em função do tempo adimensional
.
Considere pulsos com as seguintes durações:
f)
f)
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador massa–mola não amortecido, com período natural
e a resposta ao impulso do sistema, e então plotar o fator de amplificação dinâmica
para a razão (t_{d}/T=2{,}0].
Passo 2
A resposta ao impulso de um sistema massa–mola não amortecido é
onde
. Pelo princípio da superposição, o deslocamento forçado é
Passo 3
Não dimensionalizando com
e
, e dividindo por
, chega-se a
onde
. Para
temos
e
Passo 4
Para obter numericamente
usa-se, por exemplo, o método do trapézio:
- Discretizar
de até (ou mais) com passo . - Para cada
, montar de até com passo . - Calcular
- Plotar
versus .
Passo 5
Aplicando o passo 4 com
, obtém-se os seguintes valores e o esboço abaixo:
|
|
|
|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Esboço do gráfico para
:
X^*
1,1 ┤ \(\bullet 1,0\) ┤ \(\bullet 0,8\) ┤ \(\bullet 0,6\) ┤
0,4 ┤
0,2 ┤
0,0 ┼•───────•────────────•─────
\(0,00,51,01,52,0\zeta=\)t/T
{pulso} {livre}
Após
, o pulso cessa e o sistema vibra livremente com amplitude determinada pela velocidade instantânea em
.
Resposta
O fator de amplificação dinâmica
para
tem o comportamento tabulado acima e o esboço de curva mostrado.