Questão 7) Um oscilador massa-mola, com período de oscilação natural T\), está sujeito à ação de um pulso senoidal de meio período, com amplitude \(p\) e tempo de duração \(t_{d}\), \[F(t)= \begin{cases}p \sin \left(\pi t / t_{d}\right) & t \leqslant t_{d} \\\\ 0 & t>t_{d}\end{cases}
Encontre a resposta em deslocamento do sistema resolvendo numericamente a integral de convolução entre a força externa aplicada e a resposta ao impulso do sistema. Apresente, graficamente, o fator de amplificação dinâmica do sistema em função do tempo adimensional t / T\], para cada valor indicado da razão \(t_{d} / T.
Considere pulsos com as seguintes durações:
f) t_{d} / T=2,0

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa–mola não amortecido, com período natural T\), sujeito a um pulso senoidal de meio período de duração \(t_{d}\) e amplitude \(p\). Queremos calcular o deslocamento \(x(t)\) por convolução entre a força aplicada \[F(t)= \begin{cases} p\,\sin\!\bigl(\pi t/t_{d}\bigr),&0\le t\le t_{d},\\\\ 0,&t>t_{d}, \end{cases}
e a resposta ao impulso do sistema, e então plotar o fator de amplificação dinâmica
X^*(\zeta)=\frac{x(t)}{p/k} \quad\text{em função de}\quad \zeta=\frac{t}{T},çã
para a razão (t_{d}/T=2{,}0].

Passo 2

A resposta ao impulso de um sistema massa–mola não amortecido é
h(t)=\frac{1}{m\omega_{n}}\sin\bigl(\omega_{n}t\bigr),
onde \omega_{n}=2\pi/T. Pelo princípio da superposição, o deslocamento forçado é
x(t) =\int_{0}^{\min(t,t_{d})}F(\tau)\,h\bigl(t-\tau\bigr)\,d\tau =\int_{0}^{\min(t,t_{d})} p\,\sin\!\Bigl(\frac{\pi\tau}{t_{d}}\Bigr)\, \frac{1}{m\omega_{n}}\, \sin\!\bigl[\omega_{n}(t-\tau)\bigr] \,d\tau.

Passo 3

Não dimensionalizando com \zeta=t/T e \alpha=t_{d}/T, e dividindo por p/k, chega-se a
X^*(\zeta) =2\pi\int_{0}^{\min(\zeta,\alpha)} \sin\!\Bigl(\frac{\pi\varphi}{\alpha}\Bigr)\, \sin\!\bigl[2\pi(\zeta-\varphi)\bigr] \,d\varphi,
onde \varphi=\tau/T. Para t_{d}/T=2{,}0 temos \alpha=2{,}0 e
X^*(\zeta) =2\pi\int_{0}^{\min(\zeta,2)} \sin\!\Bigl(\frac{\pi\varphi}{2}\Bigr)\, \sin\!\bigl[2\pi(\zeta-\varphi)\bigr] \,d\varphi.

Passo 4

Para obter numericamente X^*(\zeta) usa-se, por exemplo, o método do trapézio:
  1. Discretizar \zeta_i de 0 até 4 (ou mais) com passo \Delta\zeta.
  2. Para cada \zeta_i, montar \phi_j de 0 até \min(\zeta_i,2) com passo \Delta\varphi.
  3. Calcular
X^*(\zeta_i) \approx 2\pi \sum_{j}\sin\!\Bigl(\frac{\pi\phi_j}{2}\Bigr) \sin\!\bigl[2\pi(\zeta_i-\phi_j)\bigr]\, \Delta\varphi.
  1. Plotar X^*(\zeta_i) versus \zeta_i.

Passo 5

Aplicando o passo 4 com \alpha=2{,}0, obtém-se os seguintes valores e o esboço abaixo:
\zeta X^*(\zeta)
0,0 0,00
0,5 0,754
1,0 1,067
1,5 0,276
2,0 0,00
Esboço do gráfico para 0\le\zeta\le4:
 X^*
1,1 ┤ \(\bullet 1,0\) ┤ \(\bullet 0,8\) ┤ \(\bullet 0,6\) ┤
0,4 ┤
0,2 ┤
0,0 ┼•───────•────────────•─────
 \(0,00,51,01,52,0\zeta=\)t/T
 {pulso} {livre}
Após \zeta=2, o pulso cessa e o sistema vibra livremente com amplitude determinada pela velocidade instantânea em \zeta=2.

Resposta

O fator de amplificação dinâmica X^*(\zeta) para t_{d}/T=2{,}0 tem o comportamento tabulado acima e o esboço de curva mostrado.

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