Questão 7) Um oscilador massa-mola, com período de oscilação natural
Encontre a resposta em deslocamento do sistema resolvendo numericamente a integral de convolução entre a força externa aplicada e a resposta ao impulso do sistema. Apresente, graficamente, o fator de amplificação dinâmica do sistema em função do tempo adimensional
.
Considere pulsos com as seguintes durações:
g)
g)
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador massa–mola não amortecido, de período natural
, sujeito a um pulso externo de meio período senoidal de amplitude
e duração
. Queremos obter o deslocamento
resolvendo numericamente a integral de convolução
onde
para
e zero após, e
é a resposta ao impulso do sistema. O objetivo final é traçar graficamente o fator de amplificação dinâmica
em função de
para o caso
.
Passo 2
Determinar a resposta ao impulso
do oscilador não amortecido. Com massa
e rigidez
, o período é
, logo
. Sabemos da teoria de vibrações livres que
Passo 3
Escrever o deslocamento por convolução. Como
para
, temos
Para não entrar com
e
separadamente, podemos usar a normalização em que
e
, de modo que
é o deslocamento estático de referência.
Passo 4
Definir o fator de amplificação dinâmica
Escolhemos unidades adimensionais tomando
. Assim,
,
e calculamos
para
(por exemplo
).
Passo 5
Descrever o procedimento de cálculo numérico da convolução:
- Discretizar o tempo em passos de tamanho
. - Montar o vetor de força
para , zero depois. - Montar o vetor de resposta ao impulso
. - Para cada
, aproximar
- Calcular
. - Plotar
versus .
Passo 6
Segue um exemplo de script em Python que implementa esse procedimento para
:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# parâmetros adimensionais
T \(=1.0 omega_n =2\)*np.pi/T
\(t_d =2.5\)*T
dt \(=1\)e-3
t = np.arange(0, 5*\(T+d\)t, dt)
# força externa
F = np.sin(np.pi * t / \(t_d\)) * (t <= \(t_d\))
Resposta
Ao executar o script acima, obtém-se o gráfico do fator de amplificação dinâmica
em função de
para o caso
. O resultado mostra que
cresce durante a aplicação do pulso até um pico em
e, em seguida, o sistema entra em vibração livre não amortecida, mantendo oscilações com amplitude igual ao valor máximo atingido.