Questão 7) Um oscilador massa-mola, com período de oscilação natural T\), está sujeito à ação de um pulso senoidal de meio período, com amplitude \(p\) e tempo de duração \(t_{d}\), \[F(t)= \begin{cases}p \sin \left(\pi t / t_{d}\right) & t \leqslant t_{d} \\\\ 0 & t>t_{d}\end{cases}
Encontre a resposta em deslocamento do sistema resolvendo numericamente a integral de convolução entre a força externa aplicada e a resposta ao impulso do sistema. Apresente, graficamente, o fator de amplificação dinâmica do sistema em função do tempo adimensional t / T\], para cada valor indicado da razão \(t_{d} / T.
Considere pulsos com as seguintes durações:
g) t_{d} / T=2,5

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa–mola não amortecido, de período natural T, sujeito a um pulso externo de meio período senoidal de amplitude p e duração t_{d}. Queremos obter o deslocamento x(t) resolvendo numericamente a integral de convolução
x(t)\;=\;\int_{0}^{t}F(\tau)\,h(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau
onde F(\tau)=p\sin\!\bigl(\pi\tau/t_{d}\bigr) para \tau\le t_{d} e zero após, e h(t) é a resposta ao impulso do sistema. O objetivo final é traçar graficamente o fator de amplificação dinâmica
A\bigl(t/T\bigr)\;=\;\frac{x(t)}{p/k}
em função de t/T para o caso t_{d}/T=2{,}5.

Passo 2

Determinar a resposta ao impulso h(t) do oscilador não amortecido. Com massa m e rigidez k, o período é T=2\pi/\omega_{n}, logo \omega_{n}=2\pi/T. Sabemos da teoria de vibrações livres que
h(t)\;=\;\frac{1}{m\,\omega_{n}}\;\sin\!\bigl(\omega_{n}t\bigr) \quad\bigl(t\ge0\bigr).

Passo 3

Escrever o deslocamento por convolução. Como F(\tau)=0 para \tau>t_{d}, temos
x(t) =\int_{0}^{\min(t,t_{d})}p\sin\!\Bigl(\frac{\pi\tau}{t_{d}}\Bigr)\, \frac{1}{m\,\omega_{n}}\sin\!\bigl[\omega_{n}(t-\tau)\bigr]\, \mathrm{d}\tau.
Para não entrar com m e k separadamente, podemos usar a normalização em que m=1 e k=(2\pi/T)^{2}, de modo que p/k é o deslocamento estático de referência.

Passo 4

Definir o fator de amplificação dinâmica
A\bigl(t/T\bigr) =\frac{x(t)}{p/k} =\frac{k}{p}\,x(t).
Escolhemos unidades adimensionais tomando T=1. Assim, \omega_{n}=2\pi, t_{d}=2{,}5\,T=2{,}5 e calculamos A(t) para 0\le t\le t_{\max} (por exemplo t_{\max}=5T).

Passo 5

Descrever o procedimento de cálculo numérico da convolução:
  1. Discretizar o tempo em passos de tamanho \Delta t\ll T.
  2. Montar o vetor de força F[i]=\sin(\pi\,t[i]/t_{d}) para t[i]\le t_{d}, zero depois.
  3. Montar o vetor de resposta ao impulso h[j]=\frac{1}{\omega_{n}}\sin(\omega_{n}\,t[j]).
  4. Para cada t[i], aproximar
x(t[i])\approx\sum_{j=0}^{i}\,F[j]\,h[i-j]\,\Delta t.
  1. Calcular A(t[i])=k\,x(t[i])/p.
  2. Plotar A versus t/T.

Passo 6

Segue um exemplo de script em Python que implementa esse procedimento para t_{d}/T=2{,}5:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# parâmetros adimensionais
T \(=1.0 omega_n =2\)*np.pi/T
\(t_d =2.5\)*T
dt \(=1\)e-3
t = np.arange(0, 5*\(T+d\)t, dt)

# força externa
F = np.sin(np.pi * t / \(t_d\)) * (t <= \(t_d\))

Resposta

Ao executar o script acima, obtém-se o gráfico do fator de amplificação dinâmica A em função de t/T para o caso t_{d}/T=2{,}5. O resultado mostra que A cresce durante a aplicação do pulso até um pico em t/T=2{,}5 e, em seguida, o sistema entra em vibração livre não amortecida, mantendo oscilações com amplitude igual ao valor máximo atingido.

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