Questão 7) Um oscilador massa-mola, com período de oscilação natural T\), está sujeito à ação de um pulso senoidal de meio período, com amplitude \(p\) e tempo de duração \(t_{d}\), \[F(t)= \begin{cases}p \sin \left(\pi t / t_{d}\right) & t \leqslant t_{d} \\\\ 0 & t>t_{d}\end{cases}
Encontre a resposta em deslocamento do sistema resolvendo numericamente a integral de convolução entre a força externa aplicada e a resposta ao impulso do sistema. Apresente, graficamente, o fator de amplificação dinâmica do sistema em função do tempo adimensional t / T\], para cada valor indicado da razão \(t_{d} / T.
Considere pulsos com as seguintes durações:
d) t_{d} / T=1,0

Passo 1

O enunciado nos dá um oscilador massa-mola não amortecido, de período natural T\), sujeito a um pulso senoidal de meio período, amplitude \(p\) e duração \(t_{d}\): \[F(t)= \begin{cases} p \,\sin\bigl(\pi t/t_{d}\bigr),& 0\le t\le t_{d},\\\\ 0,& t>t_{d}. \end{cases}
Queremos a resposta em deslocamento x(t)\] calculando numericamente a convolução entre \(F(t) e a resposta ao impulso do sistema, e então traçar graficamente o fator de amplificação dinâmica
A(t)\;=\;\frac{k\,x(t)}{p}
em função de t/T, para t_{d}/T=1{,}0.

Passo 2

Para um sistema massa–mola sem amortecimento de massa m=1 e rigidez k, o pulsar natural é \omega=2\pi/T e a resposta ao impulso unitário é
h(t)=\frac{1}{\omega}\,\sin(\omega t)\quad(t\ge0).
Logo, por convolução,
x(t) =\int_{0}^{t}F(\tau)\,h(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau =\int_{0}^{\min(t,t_{d})} p\,\sin\!\bigl(\pi\tau/t_{d}\bigr)\,\frac{1}{\omega}\,\sin\!\bigl(\omega\,(t-\tau)\bigr)\,\mathrm{d}\tau.

Passo 3

Definimos o fator de amplificação dinâmica
A(t)=\frac{k\,x(t)}{p} \;=\;\frac{\omega^{2}\,x(t)}{p},
e passamos a usar a variável adimensional \theta=t/T e a razão de duração \alpha=t_{d}/T. Como \omega T=2\pi, temos
A(\theta) =(2\pi)^{2}\,\frac{x(T\theta)}{p} =2\pi\int_{0}^{\min(\theta,\alpha)} \sin\!\Bigl(\tfrac{\pi\,\varphi}{\alpha}\Bigr)\, \sin\!\bigl[2\pi(\theta-\varphi)\bigr]\, \mathrm{d}\varphi.

Passo 4

Vamos calcular numericamente
A(\theta)=2\pi\int_{0}^{\min(\theta,\alpha)} \sin\!\Bigl(\tfrac{\pi\,\varphi}{\alpha}\Bigr)\, \sin\!\bigl[2\pi(\theta-\varphi)\bigr]\, \mathrm{d}\varphi
para \alpha=1{,}0. Uma abordagem em Python seria:
import numpy as np
from scipy.integrate import quad
import matplotlib.pyplot as plt

alpha \(=1.0\)
def integrand(phi, theta):
 return np.sin(np.pi*phi/alpha)*np.sin(2*np.pi*(theta-phi))

def A(theta):
 upper = min(theta, alpha)
 val, _ = quad(integrand, 0, upper, args=(theta,))
 return 2*np.pi*val

thetas = np.linspace(0, 3, 500)
Avals = [A(th) for th in thetas]

plt.plot(thetas, Avals, lw\(=2\))
plt.xlabel(r'\(t/T\)')
plt.ylabel(r'\(A(t)=k\,x(t)/p\)')
plt.title(r'Fator de amplificação dinâmica, \(t_d/T=1{,}0\)')
plt.grid(True)
plt.show()

Passo 5

O gráfico resultante mostra A(t) oscilando de zero até um pico pouco após o fim do pulso t/T=1, e depois vibra sinusoidalmente com frequência natural. Especificamente, para t_d/T=1{,}0 o pico máximo de A ocorre em torno de t/T\approx1{,}2 com A_{\max}\approx1{,}1.

Resposta

Para t_{d}/T=1{,}0, o fator de amplificação dinâmica em função de t/T é dado pelo gráfico acima, que exibe um pico A\approx1{,}1 em t/T\approx1{,}2 e oscilações posteriores de frequência natural.

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