Questão 7) Um oscilador massa-mola, com período de oscilação natural
Encontre a resposta em deslocamento do sistema resolvendo numericamente a integral de convolução entre a força externa aplicada e a resposta ao impulso do sistema. Apresente, graficamente, o fator de amplificação dinâmica do sistema em função do tempo adimensional
.
Considere pulsos com as seguintes durações:
d)
d)
Passo 1
O enunciado nos dá um oscilador massa-mola não amortecido, de período natural
Queremos a resposta em deslocamento
e a resposta ao impulso do sistema, e então traçar graficamente o fator de amplificação dinâmica
em função de
, para
.
Passo 2
Para um sistema massa–mola sem amortecimento de massa
e rigidez
, o pulsar natural é
e a resposta ao impulso unitário é
Logo, por convolução,
Passo 3
Definimos o fator de amplificação dinâmica
e passamos a usar a variável adimensional
e a razão de duração
. Como
, temos
Passo 4
Vamos calcular numericamente
para
. Uma abordagem em Python seria:
import numpy as np
from scipy.integrate import quad
import matplotlib.pyplot as plt
alpha \(=1.0\)
def integrand(phi, theta):
return np.sin(np.pi*phi/alpha)*np.sin(2*np.pi*(theta-phi))
def A(theta):
upper = min(theta, alpha)
val, _ = quad(integrand, 0, upper, args=(theta,))
return 2*np.pi*val
thetas = np.linspace(0, 3, 500)
Avals = [A(th) for th in thetas]
plt.plot(thetas, Avals, lw\(=2\))
plt.xlabel(r'\(t/T\)')
plt.ylabel(r'\(A(t)=k\,x(t)/p\)')
plt.title(r'Fator de amplificação dinâmica, \(t_d/T=1{,}0\)')
plt.grid(True)
plt.show()
Passo 5
O gráfico resultante mostra
oscilando de zero até um pico pouco após o fim do pulso
, e depois vibra sinusoidalmente com frequência natural. Especificamente, para
o pico máximo de
ocorre em torno de
com
.
Resposta
Para
, o fator de amplificação dinâmica em função de
é dado pelo gráfico acima, que exibe um pico
em
e oscilações posteriores de frequência natural.