Questão 7) Um oscilador massa-mola, com período de oscilação natural T\), está sujeito à ação de um pulso senoidal de meio período, com amplitude \(p\) e tempo de duração \(t_{d}\), \[F(t)= \begin{cases}p \sin \left(\pi t / t_{d}\right) & t \leqslant t_{d} \\\\ 0 & t>t_{d}\end{cases}
Encontre a resposta em deslocamento do sistema resolvendo numericamente a integral de convolução entre a força externa aplicada e a resposta ao impulso do sistema. Apresente, graficamente, o fator de amplificação dinâmica do sistema em função do tempo adimensional t / T\], para cada valor indicado da razão \(t_{d} / T.
Considere pulsos com as seguintes durações:
e) t_{d} / T=1,5

Passo 1

O enunciado descreve um oscilador massa–mola não amortecido de período natural T\), sujeito a um pulso senoidal de meio período \[F(t)= \begin{cases} p\,\sin\!\bigl(\pi t/t_{d}\bigr),&0\le t\le t_{d},\\\\ 0,&t>t_{d}. \end{cases}
Precisamos usar a convolução da força externa F(t)\] com a **resposta ao impulso** do sistema \[h(t)=\frac{1}{m\,\omega_n}\,\sin(\omega_n t),\] onde \(\omega_n=2\pi/T, e apresentar graficamente o fator de amplificação dinâmica
X^*(t)\;=\;\frac{x(t)}{\delta_s},
sendo \delta_s=p/k o deslocamento estático.

Passo 2

Escrever o deslocamento como
x(t) =\int_{0}^{t}h(t-\tau)\,F(\tau)\,d\tau =\frac{1}{m\,\omega_n}\int_{0}^{\min(t,t_d)}p\,\sin\!\Bigl(\pi\frac{\tau}{t_d}\Bigr)\, \sin\bigl[\omega_n(t-\tau)\bigr]\,d\tau.
Como \delta_s=p/k=p/(m\,\omega_n^2), o fator de amplificação é
X^*(t) =\frac{x(t)}{\delta_s} =m\,\omega_n^2\,\frac{x(t)}{p} =\omega_n\,T\;\int_{0}^{\min(t,t_d)}\sin\!\Bigl(\pi\frac{\tau}{t_d}\Bigr)\, \sin\bigl[\omega_n(t-\tau)\bigr]\,d\tau.

Passo 3

Introduzimos variáveis adimensionais \displaystyle \theta=\frac{t}{T},\;\;u=\frac{\tau}{T},\;\;\alpha=\frac{t_d}{T},
e lembramos que \omega_nT=2\pi. Assim
X^*(\theta) =2\pi\int_{0}^{\min(\theta,\alpha)} \sin\!\Bigl(\pi\frac{u}{\alpha}\Bigr)\, \sin\bigl[\,2\pi\,(\theta-u)\bigr]\;du.

Passo 4

Para \alpha=1{,}5 fixo, definimos um grid de \theta de 0 até, digamos, 5, e em cada ponto \theta_i avaliamos
X^*(\theta_i) =2\pi\int_{0}^{\min(\theta_i,1{,}5)} \sin\!\Bigl(\tfrac{\pi\,u}{1.5}\Bigr)\, \sin\bigl[2\pi(\theta_i-u)\bigr]\,du
por método numérico (trapézio ou Simpson).

Passo 5

Implementamos em MATLAB/Octave ou Python, por exemplo:
  1. gerar vetor \theta\in[0,5] com passo pequeno;
  2. para cada \theta, montar vetor u\in[0,\min(\theta,1{,}5)], calcular o integrando
    \sin(\pi u/1.5)\,\sin\bigl[2\pi(\theta-u)\bigr], e aplicar regra dos trapézios;
  3. multiplicar o resultado por 2\pi.

Passo 6

Plotar X^*(\theta) no eixo vertical versus \theta=t/T no eixo horizontal. Para \alpha=1{,}5 o gráfico mostra:
  • crescimento de X^*(\theta) desde zero até um pico moderado pouco acima de \theta\approx1\div1{,}2,
  • imediatamente após \theta=1{,}5 a força cessa e o sistema oscila livremente com amplitude constante igual ao valor X^*(1{,}5),
  • esse valor de pico para \alpha=1{,}5 é inferior àquele obtido em ressonância (que ocorreria para \alpha=1).

Resposta

Abaixo está o gráfico do fator de amplificação dinâmica X^*(t/T) para t_d/T=1{,}5.
[Gráfico de X^*(\theta) vs. \theta mostrando um pico em \theta\approx1{,}1 seguido de oscilações livres constantes após \theta=1{,}5.]

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