Questão 7) Um oscilador massa-mola, com período de oscilação natural
Encontre a resposta em deslocamento do sistema resolvendo numericamente a integral de convolução entre a força externa aplicada e a resposta ao impulso do sistema. Apresente, graficamente, o fator de amplificação dinâmica do sistema em função do tempo adimensional
.
Considere pulsos com as seguintes durações:
e)
e)
Passo 1
O enunciado descreve um oscilador massa–mola não amortecido de período natural
Precisamos usar a convolução da força externa
, e apresentar graficamente o fator de amplificação dinâmica
sendo
o deslocamento estático.
Passo 2
Escrever o deslocamento como
Como
, o fator de amplificação é
Passo 3
Introduzimos variáveis adimensionais
,
e lembramos que . Assim
e lembramos que
Passo 4
Para
fixo, definimos um grid de
de 0 até, digamos, 5, e em cada ponto
avaliamos
por método numérico (trapézio ou Simpson).
Passo 5
Implementamos em MATLAB/Octave ou Python, por exemplo:
- gerar vetor
com passo pequeno; - para cada
, montar vetor , calcular o integrando
, e aplicar regra dos trapézios; - multiplicar o resultado por
.
Passo 6
Plotar
no eixo vertical versus
no eixo horizontal. Para
o gráfico mostra:
- crescimento de
desde zero até um pico moderado pouco acima de , - imediatamente após
a força cessa e o sistema oscila livremente com amplitude constante igual ao valor , - esse valor de pico para
é inferior àquele obtido em ressonância (que ocorreria para ).
Resposta
Abaixo está o gráfico do fator de amplificação dinâmica
para
.
[Gráfico de
vs.
mostrando um pico em
seguido de oscilações livres constantes após
.]