Questão 7) Um oscilador massa-mola, com período de oscilação natural T\), está sujeito à ação de um pulso senoidal de meio período, com amplitude \(p\) e tempo de duração \(t_{d}\),
\[F(t)= \begin{cases}p \sin \left(\pi t / t_{d}\right) & t \leqslant t_{d} \\\\ 0 & t>t_{d}\end{cases}
Encontre a resposta em deslocamento do sistema resolvendo numericamente a integral de convolução entre a força externa aplicada e a resposta ao impulso do sistema. Apresente, graficamente, o fator de amplificação dinâmica do sistema em função do tempo adimensional t / T\], para cada valor indicado da razão \(t_{d} / T.
Considere pulsos com as seguintes durações:
h) t_{d} / T=3,0
Passo 1
O problema trata de um oscilador massa-mola não amortecido, de período natural T\), submetido a um pulso senoidal de meio-período e duração \(t_d\). A força aplicada é
\[F(t)= \begin{cases} p\,\sin\!\bigl(\pi\,t/t_d\bigr),&0\le t\le t_d,\\\\ 0,&t>t_d. \end{cases}
Queremos calcular o deslocamento x(t)\] pela convolução de \(F(t) com a resposta ao impulso do sistema e então definir o fator de amplificação dinâmica
Q(t)\;=\;\frac{k\,x(t)}{p},
onde k é a rigidez da mola. Em seguida, introduzimos o tempo adimensional
\tau=\frac{t}{T}, \quad \tau_d=\frac{t_d}{T}
e vamos resolver numericamente a integral de convolução para \tau_d=3,0.
Passo 2
Para um oscilador não amortecido a resposta ao impulso vale
h(t)=\frac{1}{m\,\omega_n}\,\sin(\omega_n\,t),
com \omega_n=2\pi/T e k=m\,\omega_n^2. Portanto o deslocamento é