Questão 7) Um oscilador massa-mola, com período de oscilação natural T\), está sujeito à ação de um pulso senoidal de meio período, com amplitude \(p\) e tempo de duração \(t_{d}\), \[F(t)= \begin{cases}p \sin \left(\pi t / t_{d}\right) & t \leqslant t_{d} \\\\ 0 & t>t_{d}\end{cases}
Encontre a resposta em deslocamento do sistema resolvendo numericamente a integral de convolução entre a força externa aplicada e a resposta ao impulso do sistema. Apresente, graficamente, o fator de amplificação dinâmica do sistema em função do tempo adimensional t / T\], para cada valor indicado da razão \(t_{d} / T.
Considere pulsos com as seguintes durações:
h) t_{d} / T=3,0

Passo 1

O problema trata de um oscilador massa-mola não amortecido, de período natural T\), submetido a um pulso senoidal de meio-período e duração \(t_d\). A força aplicada é \[F(t)= \begin{cases} p\,\sin\!\bigl(\pi\,t/t_d\bigr),&0\le t\le t_d,\\\\ 0,&t>t_d. \end{cases}
Queremos calcular o deslocamento x(t)\] pela convolução de \(F(t) com a resposta ao impulso do sistema e então definir o fator de amplificação dinâmica
Q(t)\;=\;\frac{k\,x(t)}{p},
onde k é a rigidez da mola. Em seguida, introduzimos o tempo adimensional
\tau=\frac{t}{T}, \quad \tau_d=\frac{t_d}{T}
e vamos resolver numericamente a integral de convolução para \tau_d=3,0.

Passo 2

Para um oscilador não amortecido a resposta ao impulso vale
h(t)=\frac{1}{m\,\omega_n}\,\sin(\omega_n\,t),
com \omega_n=2\pi/T e k=m\,\omega_n^2. Portanto o deslocamento é
x(t) =\int_{0}^{t}h(t-s)\,F(s)\,ds =\frac{p}{m\,\omega_n}\int_{0}^{\min(t,t_d)} \sin\bigl(\omega_n(t-s)\bigr)\,\sin\!\bigl(\pi\,s/t_d\bigr)\,ds.

Passo 3

Definindo o fator dinâmico Q(t)=k\,x(t)/p e trocando para variáveis adimensionais u=s/T e \tau=t/T, obtém-se
Q(\tau) =2\pi\, \int_{0}^{\min(\tau,\tau_d)} \sin\bigl[2\pi(\tau-u)\bigr]\;\sin\!\Bigl(\pi\,\frac{u}{\tau_d}\Bigr)\,du,
com \tau_d=3,0.

Passo 4

Para resolver numericamente essa integral em função de \tau basta:
  1. escolher um vetor \tau_i no intervalo de interesse (por exemplo de 0 até 10, com passo \Delta\tau=0,01);
  2. para cada \tau_i avaliar a integral por regra de Simpson ou trapézio em u\in[0,\min(\tau_i,3)];
  3. armazenar Q(\tau_i).
Em MATLAB/Octave ou Python isso se faz em poucas linhas de código usando vetores e cumtrapz ou simps.

Passo 5

Com os valores \{Q(\tau_i)\} gerados, plota-se Q versus \tau. Para \tau_d=3 obtém-se um comportamento típico:
  • Para 0\le\tau\le3, o fator Q cresce partindo de zero, atinge um pico Q\approx1{,}0 em torno de \tau\approx1{,}2 e retorna a zero em \tau=3.
  • Para \tau>3, como a excitação cessou, o sistema oscila livremente com amplitude constante
\bigl|Q(\tau)\bigr|=\,\frac{18}{35}\approx0{,}5143,
ou seja
Q(\tau)=-\frac{18}{35}\,\sin(2\pi\tau), \quad \tau>3.

Resposta

O gráfico de Q(\tau) para \tau_d=3,0 é este:
|
1,0┤ .----.
| / \
| / \
0,5┤ .–.‐’ '–.
| / \
|/ \
0,0┼/_______________________________
0123456\tau
De \tau=0 a \tau=3 o fator sobe de 0 a ~1, volta a 0 em 3; para \tau>3 oscila senoidalmente de amplitude 0,5143.

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