Questão 1) Considere um sistema dinâmico linear representado pela seguinte Função de Transferência:
H(s)=\frac{1}{s^{2}+2 s+4}
Encontre os pólos e os resíduos de H(s). Determine, analiticamente, a Função de Resposta ao Impulso. h(t), do sistema descrito por H(s) e apresente um gráfico de h(t) em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
H(s)=\frac{1}{s^{2}+2s+4}
e pede (i) os polos e resíduos de H(s), (ii) a resposta ao impulso h(t) obtida por transformada inversa de Laplace, e (iii) um gráfico de h(t).
Conteúdo necessário: solução de equação quadrática para achar polos, frações parciais para obter resíduos, e tabela de transformada inversa de Laplace para \tfrac{1}{s-a}\to e^{at}.

Passo 2

Encontramos os polos resolvendo
s^{2}+2s+4=0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
s = \frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot1\cdot4}}{2} =\frac{-2\pm\sqrt{-12}}{2} =-1\pm j\sqrt{3}.
Logo os polos são
s_{1}=-1+j\sqrt{3}, \quad s_{2}=-1-j\sqrt{3}.

Passo 3

Calculamos o resíduo em s=s_{1} por
\Res\bigl[H,s_{1}\bigr] =\lim_{s\to s_{1}}(s-s_{1})\frac{1}{(s-s_{1})(s-s_{2})} =\frac{1}{s_{1}-s_{2}} =\frac{1}{(-1+j\sqrt{3})-(-1-j\sqrt{3})} =\frac{1}{2j\sqrt{3}} =-\frac{j}{2\sqrt{3}}.
Analogamente, em s=s_{2},
\Res\bigl[H,s_{2}\bigr] =\frac{1}{s_{2}-s_{1}} =\frac{1}{-2j\sqrt{3}} =\frac{j}{2\sqrt{3}}.

Passo 4

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
H(s) =\frac{-\frac{j}{2\sqrt{3}}}{s-(-1+j\sqrt{3})} +\frac{\frac{j}{2\sqrt{3}}}{s-(-1-j\sqrt{3})}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa de Laplace, usando \displaystyle\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s-a}\Bigr\}=e^{at}u(t), obtemos
h(t) =-\frac{j}{2\sqrt{3}}\,e^{(-1+j\sqrt{3})t}u(t) +\frac{j}{2\sqrt{3}}\,e^{(-1-j\sqrt{3})t}u(t).

Passo 6

Para escrever h(t) em termos reais, notamos que isso é a forma de seno amortecido. De fato,
h(t) =\frac{1}{\sqrt{3}}\,e^{-t}\sin\bigl(\sqrt{3}\,t\bigr)\,u(t).
Aqui usamos a identidade \sin(x)=\tfrac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}.

Passo 7

O gráfico de h(t) para t\ge0 é um seno amortecido de frequência angular \sqrt{3} e coeficiente de amortecimento 1. O envelope superior é \displaystyle+\frac{1}{\sqrt{3}}e^{-t}
e o inferior \displaystyle-\frac{1}{\sqrt{3}}e^{-t}.
Em t=0, h(0)=0; o primeiro pico ocorre em t=\tfrac{\pi}{2\sqrt{3}} e as oscilações decaem exponencialmente.

Resposta

Polos:
s_{1}=-1+j\sqrt{3},\quad s_{2}=-1-j\sqrt{3}.
Resíduos:
\Res[H,s_{1}]=-\frac{j}{2\sqrt{3}},\quad \Res[H,s_{2}]=\frac{j}{2\sqrt{3}}.
Resposta ao impulso:
h(t)=\frac{1}{\sqrt{3}}\,e^{-t}\sin\bigl(\sqrt{3}\,t\bigr)\,u(t).
Gráfico: seno amortecido com envelope e^{-t}/\sqrt{3}, frequência \sqrt{3} rad/s, e decaimento exponencial.

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