Questão 1) Considere um sistema dinâmico linear representado pela seguinte Função de Transferência:
Encontre os pólos e os resíduos de
. Determine, analiticamente, a Função de Resposta ao Impulso.
, do sistema descrito por
e apresente um gráfico de
em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede (i) os polos e resíduos de
, (ii) a resposta ao impulso
obtida por transformada inversa de Laplace, e (iii) um gráfico de
.
Conteúdo necessário: solução de equação quadrática para achar polos, frações parciais para obter resíduos, e tabela de transformada inversa de Laplace para .
Conteúdo necessário: solução de equação quadrática para achar polos, frações parciais para obter resíduos, e tabela de transformada inversa de Laplace para
Passo 2
Encontramos os polos resolvendo
Usando a fórmula de Bhaskara,
Logo os polos são
Passo 3
Calculamos o resíduo em
por
Analogamente, em
,
Passo 4
Escrevemos a decomposição em frações parciais:
Passo 5
Aplicando a transformada inversa de Laplace, usando
, obtemos
Passo 6
Para escrever
em termos reais, notamos que isso é a forma de seno amortecido. De fato,
Aqui usamos a identidade
.
Passo 7
O gráfico de
para
é um seno amortecido de frequência angular
e coeficiente de amortecimento
. O envelope superior é
e o inferior .
Em ,
; o primeiro pico ocorre em
e as oscilações decaem exponencialmente.
e o inferior
Em
Resposta
Polos:
Resíduos:
Resposta ao impulso:
Gráfico: seno amortecido com envelope
, frequência
rad/s, e decaimento exponencial.