Questão 1 | Ainda não respondida Vale 2,00 ponto(s).

Um próton, um elétron e um núcleo de hélio movem-se com velocidade v(v). Ao classificarmos os seus comprimentos de onda de Broglie do maior para o menor, teremos:
Escolha uma opção:
\bigcirc a. elétron, próton e núcleo de hélio
\bigcirc b. núcleo de hélio, próton e elétron
\bigcirc c. elétron, núcleo de hélio e próton
\bigcirc d. próton, núcleo de hélio e elétron
\bigcirc e. os três tem o mesmo valor de comprimento de onda.

Passo 1

O enunciado dá três partículas: um próton, um elétron e um núcleo de hélio (partícula alfa) que se movem com a mesma velocidade v. Pede para classificarmos os comprimentos de onda de Broglie dessas partículas do maior para o menor. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As partículas são: elétron, próton e núcleo de hélio.
  • Todas têm a mesma velocidade v.
  • Queremos ordenar os comprimentos de onda de Broglie \lambda das três partículas do maior para o menor.

Passo 2

Apresento a fórmula de Broglie e explico o que ela significa. A hipótese de de Broglie diz que toda partícula com momento linear p tem associada uma onda de comprimento de onda
\lambda=\frac{h}{p},
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda de Broglie (o que queremos comparar),
  • h é a constante de Planck (constante universal),
  • p é o momento linear da partícula, medido em kg·m/s.
Essa fórmula nos diz que quanto maior o momento p, menor o comprimento de onda \lambda, e vice-versa.

Passo 3

Relaciono o momento linear p com massa e velocidade (regime não-relativístico, apropriado aqui):
p = m v,
onde:
  • m é a massa da partícula,
  • v é a velocidade (a mesma para as três partículas, segundo o enunciado).
Substituindo em \lambda=\dfrac{h}{p} obtemos
\lambda = \frac{h}{m v}.
Aqui h e v são iguais para todas as partículas no enunciado, então a diferença nos \lambda vem apenas da massa m.

Passo 4

Da expressão \lambda=\dfrac{h}{m v} concluímos a relação qualitativa:
  • Para mesma v, \lambda é inversamente proporcional à massa m.
    Ou seja,
\lambda \propto \frac{1}{m}.
Portanto, quanto menor a massa da partícula, maior será seu comprimento de onda de Broglie, se todas têm a mesma velocidade.

Passo 5

Agora usamos as massas relativas conhecidas (vou escrever em termos da massa do elétron m_e para ficar claro):
  • massa do elétron: m_e (referência),
  • massa do próton: m_p \approx 1836\,m_e,
  • massa do núcleo de hélio (partícula alfa): m_\alpha \approx 4\,m_p \approx 4\times1836\,m_e \approx 7344\,m_e.
Esses valores são aproximados, mas já deixam clara a grande diferença de massas: m_e \ll m_p \ll m_\alpha.

Passo 6

Comparo os comprimentos de onda em termos das massas:
\lambda_e \propto \frac{1}{m_e},\qquad \lambda_p \propto \frac{1}{m_p}=\frac{1}{1836\,m_e},\qquad \lambda_\alpha \propto \frac{1}{m_\alpha}\approx\frac{1}{7344\,m_e}.
Em termos numéricos relativos (proporções):
\lambda_e : \lambda_p : \lambda_\alpha \approx 1 : \frac{1}{1836} : \frac{1}{7344}.
Isso mostra sem dúvida que \lambda_e é muito maior que \lambda_p, que por sua vez é maior que \lambda_\alpha.

Passo 7

Concluímos a ordem do maior para o menor comprimento de onda de Broglie:
elétron, próton e núcleo de hélio (partícula alfa). Em termos das alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (a). Força aí, você entendeu: a partícula mais leve (elétron) tem a maior onda associada quando todas têm a mesma velocidade.

Resposta

a. elétron, próton e núcleo de hélio

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