Um pequeno peixe está no centro de um aquário esférico com diâmetro de 28 cm e cheio de agua. Despreze a camada fina de vidro em volta do aquário. Utilize
.
Determine a posição aparente e a ampliação do peixe em relação a um observador na parte externa do aquário.
Determine a posição aparente e a ampliação do peixe em relação a um observador na parte externa do aquário.
Passo 1
Enunciado e dados (o que o problema pede):
- Um peixe pequeno está no centro de um aquário esférico cheio de água; o diâmetro do aquário é
. - Despreze a camada de vidro.
- Índice de refração da água:
. Índice do ar: . - Perguntas: (1) Qual a posição aparente do peixe vista por um observador fora do aquário? (2) Qual a ampliação (transversal) do peixe vista por esse observador?
Passo 2
Observação geométrica imediata (intuição física):
- O peixe está no centro da esfera. Para qualquer ponto da superfície esférica, a reta que liga o centro da esfera ao ponto da superfície é a normal local à superfície.
- Portanto, qualquer raio que saia do peixe e atinja a superfície esférica incide sob ângulo nulo (incidência normal). Pela Lei de Snell, se o ângulo de incidência é
, o raio não sofre desvio ao atravessar a superfície. - Conclusão intuitiva: cada raio que parte do centro sai em linha reta, sem mudar de direção; logo os raios parecem originar-se do próprio centro. Isso sugere que a posição aparente do peixe coincide com o centro da esfera.
Passo 3
Vamos confirmar e quantificar usando a fórmula de refração em uma superfície esférica (paraxial) e depois calcular a ampliação transversal:
- Fórmula de refração numa superfície esférica:
onde:
-
é o índice do meio onde está o objeto (aqui, água), -
é o índice do meio transmitido (ar), -
é a distância do objeto ao vértice da superfície (positiva se o objeto está do lado de incidência, no sinal que usamos abaixo), -
é a distância da imagem ao vértice (positiva se a imagem está do lado transmitido), -
é o raio de curvatura da superfície (positivo se o centro de curvatura está do lado transmitido). - Definições e sinais para o nosso caso:
- Tomamos o vértice como o ponto da superfície mais próximo do observador externo. A luz sai da água para o ar (incidência do lado da água).
- O peixe (objeto) está no lado da incidência, a uma distância
do vértice, onde é o raio físico da esfera. - O centro de curvatura está no mesmo lado do objeto (lado de incidência), logo
(sinal negativo porque o centro de curvatura está do lado incidente, não do lado transmitido). - Valores numéricos:
, , .
Passo 4
Aplicando a fórmula para obter
(posição da imagem para raios paraxiais):
- Substituindo
e na fórmula:
- Calculamos o lado direito:
- Isolando
:
- Como
, segue
- Interpretação:
significa que a imagem (paraxial) está do mesmo lado do objeto (lado da água) a uma distância do vértice, ou seja, no próprio centro da esfera. Portanto a imagem está localizada no centro da esfera — confirmação da intuição do Passo 2.
Passo 5
Derivação e cálculo da ampliação transversal (como o tamanho aparente muda):
- Para pequenos ângulos (aproximação paraxial) tomamos um ponto do peixe deslocado transversalmente uma pequena distância
do eixo e consideramos um raio que atinge a superfície a uma altura . - No meio incidente (água) o ângulo paraxial do raio em relação ao eixo é aproximadamente
. - No meio transmitido (ar) o ângulo paraxial é
. A versão linearizada da Lei de Snell para paraxial dá
- A posição transversal
da imagem (pequeno deslocamento na seção da imagem) está relacionada com o ângulo transmitido e a distância imagem por . - A ampliação transversal (linear)
é
Esta fórmula é a relação geral (paraxial) de ampliação numa superfície refratora.
Passo 6
Aplicando a fórmula da ampliação ao nosso caso:
- Temos
e , , . Substituindo:
- Interpretação:
- O sinal negativo (
) indica (na convenção de sinais) que a imagem paraxial está invertida em relação ao objeto; em termos práticos, para um objeto tridimensional e observador real, isso significa uma inversão de parafuso de pequenas direções (é um detalhe de geometria de imagem para raios paraxiais). - O módulo
significa que, em magnitude, o peixe aparece vezes maior (ou seja, ampliado em ) quando visto de fora através da superfície esférica. Em palavras simples: o peixe parece vezes maior do que realmente é.
- O sinal negativo (
Resposta
A posição aparente do peixe: imagem virtual no centro do aquário (a
do vértice interno), ou seja, coincide com o centro da esfera.
A ampliação transversal do peixe: (módulo
, expansão de
).
A ampliação transversal do peixe: