Um pequeno peixe está no centro de um aquário esférico com diâmetro de 28 cm e cheio de agua. Despreze a camada fina de vidro em volta do aquário. Utilize n_{\text {agua }}=1.33.
Determine a posição aparente e a ampliação do peixe em relação a um observador na parte externa do aquário.

Passo 1

Enunciado e dados (o que o problema pede):
  • Um peixe pequeno está no centro de um aquário esférico cheio de água; o diâmetro do aquário é 28\\ \text{cm}.
  • Despreze a camada de vidro.
  • Índice de refração da água: n_{\text{água}}=1{,}33á. Índice do ar: n_{\text{ar}}=1.
  • Perguntas: (1) Qual a posição aparente do peixe vista por um observador fora do aquário? (2) Qual a ampliação (transversal) do peixe vista por esse observador?

Passo 2

Observação geométrica imediata (intuição física):
  • O peixe está no centro da esfera. Para qualquer ponto da superfície esférica, a reta que liga o centro da esfera ao ponto da superfície é a normal local à superfície.
  • Portanto, qualquer raio que saia do peixe e atinja a superfície esférica incide sob ângulo nulo (incidência normal). Pela Lei de Snell, se o ângulo de incidência é 0^\circ, o raio não sofre desvio ao atravessar a superfície.
  • Conclusão intuitiva: cada raio que parte do centro sai em linha reta, sem mudar de direção; logo os raios parecem originar-se do próprio centro. Isso sugere que a posição aparente do peixe coincide com o centro da esfera.

Passo 3

Vamos confirmar e quantificar usando a fórmula de refração em uma superfície esférica (paraxial) e depois calcular a ampliação transversal:
  • Fórmula de refração numa superfície esférica:
\frac{n_1}{s} + \frac{n_2}{s'} = \frac{n_2-n_1}{R},
onde:
  • n_1 é o índice do meio onde está o objeto (aqui, água),
  • n_2 é o índice do meio transmitido (ar),
  • s é a distância do objeto ao vértice da superfície (positiva se o objeto está do lado de incidência, no sinal que usamos abaixo),
  • s' é a distância da imagem ao vértice (positiva se a imagem está do lado transmitido),
  • R é o raio de curvatura da superfície (positivo se o centro de curvatura está do lado transmitido).
  • Definições e sinais para o nosso caso:
    • Tomamos o vértice como o ponto da superfície mais próximo do observador externo. A luz sai da água para o ar (incidência do lado da água).
    • O peixe (objeto) está no lado da incidência, a uma distância s=a do vértice, onde a é o raio físico da esfera.
    • O centro de curvatura está no mesmo lado do objeto (lado de incidência), logo R=-a (sinal negativo porque o centro de curvatura está do lado incidente, não do lado transmitido).
    • Valores numéricos: a=\dfrac{28}{2}=14\\ \text{cm}, n_1=n_{\text{água}}=1{,}33á, n_2=n_{\text{ar}}=1.

Passo 4

Aplicando a fórmula para obter s' (posição da imagem para raios paraxiais):
  • Substituindo s=+a e R=-a na fórmula:
\frac{n_1}{a} + \frac{n_2}{s'} = \frac{n_2-n_1}{-a}.
  • Calculamos o lado direito:
\frac{n_2-n_1}{-a}=\frac{1-1{,}33}{-a}=\frac{-0{,}33}{-a}=\frac{0{,}33}{a}.
  • Isolando \dfrac{n_2}{s'}:
\frac{n_2}{s'}=\frac{0{,}33}{a}-\frac{n_1}{a}=\frac{0{,}33-n_1}{a}=\frac{0{,}33-1{,}33}{a}=\frac{-1{,}00}{a}.
  • Como n_2=1, segue
\frac{1}{s'}=\frac{-1{,}00}{a}\quad\Rightarrow\quad s'=-a.
  • Interpretação: s'=-a significa que a imagem (paraxial) está do mesmo lado do objeto (lado da água) a uma distância a do vértice, ou seja, no próprio centro da esfera. Portanto a imagem está localizada no centro da esfera — confirmação da intuição do Passo 2.

Passo 5

Derivação e cálculo da ampliação transversal (como o tamanho aparente muda):
  • Para pequenos ângulos (aproximação paraxial) tomamos um ponto do peixe deslocado transversalmente uma pequena distância y do eixo e consideramos um raio que atinge a superfície a uma altura h.
  • No meio incidente (água) o ângulo paraxial do raio em relação ao eixo é aproximadamente u_1\approx \dfrac{h}{s}.
  • No meio transmitido (ar) o ângulo paraxial é u_2. A versão linearizada da Lei de Snell para paraxial dá
n_1 u_1 = n_2 u_2 \quad\Rightarrow\quad u_2=\frac{n_1}{n_2}u_1.
  • A posição transversal y' da imagem (pequeno deslocamento na seção da imagem) está relacionada com o ângulo transmitido e a distância imagem s' por y'\approx s' u_2.
  • A ampliação transversal (linear) m é
m=\frac{y'}{y}=\frac{s' u_2}{s u_1}=\frac{s'}{s}\cdot\frac{n_1}{n_2}.
Esta fórmula é a relação geral (paraxial) de ampliação numa superfície refratora.

Passo 6

Aplicando a fórmula da ampliação ao nosso caso:
  • Temos s=+a e s'=-a, n_1=1{,}33, n_2=1. Substituindo:
m=\frac{s'}{s}\cdot\frac{n_1}{n_2}=\frac{-a}{a}\cdot\frac{1{,}33}{1}=-1{,}33.
  • Interpretação:
    • O sinal negativo ( -) indica (na convenção de sinais) que a imagem paraxial está invertida em relação ao objeto; em termos práticos, para um objeto tridimensional e observador real, isso significa uma inversão de parafuso de pequenas direções (é um detalhe de geometria de imagem para raios paraxiais).
    • O módulo |m|=1{,}33 significa que, em magnitude, o peixe aparece 1{,}33 vezes maior (ou seja, ampliado em 33\%) quando visto de fora através da superfície esférica. Em palavras simples: o peixe parece 1{,}33 vezes maior do que realmente é.

Resposta

A posição aparente do peixe: imagem virtual no centro do aquário (a 14\\ \text{cm} do vértice interno), ou seja, coincide com o centro da esfera.
A ampliação transversal do peixe: m=-1{,}33 (módulo |m|=1{,}33, expansão de 33\%).

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